Question

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF=45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.

（1）求證：EF=FM；

（2）當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

試題分析：（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DE=DM，∠EDM=90°，再結(jié)合∠EDF=45°可得∠FDM =∠EDM=45°，再有公共邊DF即可證得△DEF≌△DMF，從而得到結(jié)論；（2）

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合正方形的得到DE=DM，∠EDM=90°，再結(jié)合∠EDF=45°可得∠FDM =∠EDM=45°，再有公共邊DF即可證得△DEF≌△DMF，從而得到結(jié)論；  

（2）設(shè)EF="x" ，即可得到BF=BM-MF=BM-EF=4-x，在Rt△EBF中根據(jù)勾股定理即可列方程求解.

（1）∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM

∴DE=DM，∠EDM=90°

∴∠EDF +∠FDM=90°

∵∠EDF=45°

∴∠FDM =∠EDM=45°

∵DF=" DF"

∴△DEF≌△DMF

∴EF=MF；  

（2）設(shè)EF=x    

∵AE=CM=1      

∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x 

∵EB=2

在Rt△EBF中，由勾股定理得

即

解得 

∴EF的長(zhǎng)為.

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)邊的夾角是旋轉(zhuǎn)角.