Question

24、在正方形ABCD的對角線AC上截取一點E，使CE=CD．然后以ED所在的直線為對稱軸作△ADE的軸對稱圖形△FDE，DF與AC交于G點．
（1）求證：四邊形CDEF為等腰梯形．
（2）將正方形ABCD拉成菱形，如繼續(xù)按（1）中方法作圖，讓E點還在對角線AC上，且不與A、C兩頂點重合，問（1）中結論是否繼續(xù)成立，如成立，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）由CE=CD，得∠CED=∠CDE，又由△ADE與△FDE關于ED所在的直線對稱，所以，△ADE≌△FDE，即AE=EF，∠AED=∠FED，又∠AED+∠CED=180°，所以，∠FED+∠CDE=180°，所以，EF∥CD且EF≠CD，所以四邊形CDEF為梯形；易證△AED≌△EFC（SAS），所以，ED=FC，所以，四邊形CDEF為等腰梯形；
（2）由CE=CD，得∠CED=∠CDE，又由△ADE與△FDE關于ED所在的直線對稱，所以，△ADE≌△FDE，即AE=EF，∠AED=∠FED，又∠AED+∠CED=180°，所以，∠FED+∠CDE=180°，所以，EF∥CD且EF≠CD，所以四邊形CDEF為梯形；易證△AED≌△EFC（SAS），所以，ED=FC，所以，四邊形CDEF為等腰梯形；

解答：證明：（1）∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵△ADE與△FDE關于ED所在的直線對稱，
∴△ADE≌△FDE，
∴AE=EF，∠AED=∠FED，
又∵∠AED+∠CED=180°，
∴∠FED+∠CDE=180°，
∴EF∥CD且EF≠CD，
∴四邊形CDEF為梯形，
∵AB∥CD，∠BAC=∠DAC，AD=CD，
∴∠BAC=∠FEC，EC=AD，
∴∠EAD=∠FEC，
∴△AED≌△EFC（SAS），
∴ED=FC，
∴四邊形CDEF為等腰梯形；

（2）四邊形CDEF為等腰梯形．理由如下：
∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵△ADE與△FDE關于ED所在的直線對稱，
∴△ADE≌△FDE，
∴AE=EF，∠AED=∠FED，
又∵∠AED+∠CED=180°，
∴∠FED+∠CDE=180°，
∴EF∥CD且EF≠CD，
∴四邊形CDEF為梯形，
∵AB∥CD，∠BAC=∠DAC，AD=CD，
∴∠BAC=∠FEC，EC=AD，
∴∠EAD=∠FEC，
∴△AED≌△EFC（SAS），
∴ED=FC，
∴四邊形CDEF為等腰梯形；

點評：本題主要考查了等腰梯形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形及菱形的性質(zhì)，掌握正方形及菱形的對角線平分這組對角，是正確解答本題的關鍵．