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        1. 【題目】已知:如圖①所示,在ABCADE中,ABACADAE,∠BAC=∠DAE,且點B,A,D在一條直線上,連接BE,CDM,N分別為BECD的中點.

          1)求證:①BECD;②AMN是等腰三角形;

          2)在圖①的基礎(chǔ)上,將ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°,其他條件不變,得到圖②所示的圖形.請直接寫出(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立;

          3)在(2)的條件下,請你在圖②中延長ED交線段BC于點P.求證:PBD∽△AMN

          【答案】1)證明見解析;(2)成立,理由見解析;(3)證明見解析

          【解析】

          1)因為∠BAC=∠DAE,所以∠BAE=∠CAD,又因為ABAC,ADAE,利用SAS可證出BAE≌△CAD,可知BE、CD是對應(yīng)邊,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等,可證AMN是等腰三角形.

          2)利用(1)中的證明方法仍然可以得出(1)中的結(jié)論,思路不變.

          3)先證出ABM≌△ACNSAS),可得出∠CAN=∠BAM,所以∠BAC=∠MAN(等角加等角和相等),又∵∠BAC=∠DAE,所以∠MAN=∠DAE=∠BAC,所以AMN,ADEABC都是頂角相等的等腰三角形,所以∠PBD=∠AMN,所以PBD∽△AMN(兩個角對應(yīng)相等,兩三角形相似).

          1)證明:①∵∠BAC=∠DAE,

          ∴∠BAE=∠CAD

          ABEACD中,

          ∴△ABE≌△ACD,

          BECD

          ②由ABE≌△ACD,得

          ABE=∠ACDBECD,

          MN分別是BE,CD的中點,

          BMCN,

          ABMACN中,

          ∴△ABM≌△ACN

          AMAN,即AMN為等腰三角形.

          2)解:(1)中的兩個結(jié)論仍然成立.

          理由:①∵∠BAC=∠DAE,

          ∴∠BAE=∠CAD,

          ABEACD中,

          ∴△ABE≌△ACD

          BECD

          ②由ABE≌△ACD,得

          ABE=∠ACDBECD,

          MN分別是BE,CD的中點,

          BMCN,

          ABMACN中,

          ∴△ABM≌△ACN

          AMAN,即AMN為等腰三角形.

          3)證明:由(1)同理可證ABM≌△ACN,

          ∴∠CAN=∠BAM,

          ∴∠BAC=∠MAN

          又∵∠BAC=∠DAE,

          ∴∠MAN=∠DAE=∠BAC

          ∴△AMN,ADEABC都是頂角相等的等腰三角形.

          ∵∠PBD=∠ABC,∠PDB=∠ADE,

          又∵∠ADE=∠ABC,

          ∴△PBDAMN都為頂角相等的等腰三角形,

          ∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,

          ∴△PBD∽△AMN

          練習冊系列答案
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          (3)點P在拋物線的對稱軸上,若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,點A的對應(yīng)點A′恰好也落在此拋物線上,求點P的坐標.

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