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        1. 【題目】如圖1,長方形ABCD中,A=B=C=D=90°,AB=CD,AD=BC,且,點P、Q分別是邊AD、AB上的動點.

          (1)求BD的長;

          (2)①如圖2,在P、Q運動中是否能使CPQ成為等腰直角三角形?若能,請求出PA的長;若不能,請說明理由;

          ②如圖3,在BC上取一點E,使EC=5,那么當EPC為等腰三角形時,求出PA的長.

          【答案】12①能,AP=4,理由見解析②3、3.5或4.

          【解析】

          試題分析:(1)由條件可求得AB=4,BC=6,由勾股定理可求出BD的長;

          (2)①由題可知只能有QPC為直角,當PQ=PC時,可證得RtPDCRtQAP,可求得AP的長;②分PC=EC、PC=PE和PE=EC三種情況分別利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.

          解:

          (1)如圖1,連接BD,

          ,

          AB=4,BC=6,

          則在RtABD中,由勾股定理可求得BD==2;

          (2)①能,AP=4,理由如下:

          如圖2,由圖形可知PQCPCQ不可能為直角,所以只有QPC=90°,則QPA+CPD=PCD+CPD

          ∴∠QPA=PCD,

          當PQ=PC時,

          在RtAPQ和RtDCP

          ∴△APQ≌△DCP(AAS),

          AP=CD=4

          故在P、Q運動中是否能使CPQ成為等腰直角三角形,此時AP=4;

          ②當PC=EC=5時,在RtPCD中,CD=4,PC=EC=5,由勾股定理可求得PD=3,所以AP=AB﹣PD=3,

          當PC=PE=5時,如圖3,過P作PFBC交BC于點F,則FC=EF=PD=EC=2.5,所以AP=AB﹣PD=6﹣2.5=3.5,

          當PE=EC=5時,如圖4,過E作EHAD于點H,由可知AH=BE=1,在RtEHD中,EH=AB=4,EP=5,由勾股定理可得HP=3,所以AP=AH+PH=1+3=4,

          綜上可知當EPC為等腰三角形時,求出PA的長為3、3.5或4.

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