Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=x，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF（點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片還原．
（1）當(dāng)x=0時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為_(kāi)_____；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為_(kāi)_____；
（2）請(qǐng)寫(xiě)出使四邊形EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當(dāng)x=2時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；
（3）令EF²=y，當(dāng)點(diǎn)E在AD、點(diǎn)F在BC上時(shí)，寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)y取最大值時(shí)，判斷△EAP與△PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．溫馨提示：用草稿紙折折看，或許對(duì)你有所幫助哦！

Answer 1

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，折痕EF=AB=3，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF==．

（2）1≤x≤3．
當(dāng)x=2時(shí)，如圖，連接PE、PF．
∵EF為折痕，
∴DE=PE，
令PE為m，則AE=2-m，DE=m，
在Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²
∴1+（2-m）²=m²，解得m=；
此時(shí)菱形邊長(zhǎng)為．

（3）如圖2，過(guò)E作EH⊥BC；
∵△EFH∽△DPA，
∴，
∴FH=3x；
∴y=EF²=EH²+FH²=9+9x²；
當(dāng)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖3，連接PF；

∵PF=DF=3，
∴PB=，
∴0≤x≤3-2；
∵函數(shù)y=9+9x²的值在y軸的右側(cè)隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=3-2時(shí)，y有最大值，
此時(shí)∠EPF=90°，△EAP∽△PBF．
綜上所述，當(dāng)y取最大值時(shí)△EAP∽△PBF，x=3-2．
分析：（1）當(dāng)x=0時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，則折痕EF的長(zhǎng)等于矩形ABCD中的AB，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕是一個(gè)直角的角平分線，可求EF=；
（2）由題意可知，EF垂直平分線段DP，要想使四邊形EPFD為菱形，則EF也應(yīng)被DP平分，所以點(diǎn)E必須要在線段AB上，點(diǎn)F必須在線段DC上，即可確定x的取值范圍．再利用勾股定理確定菱形的邊長(zhǎng)．
（3）構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例確定y的值，再利用二次函數(shù)的增減性確定y的最大值．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，主要考查學(xué)生的圖感，利用折疊過(guò)程中的等量關(guān)系尋找解題途徑；特別是最后一問(wèn)中涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，需要同學(xué)們利用相似三角形的性質(zhì)確定函數(shù)關(guān)系式后再根據(jù)自變量的取值范圍來(lái)確定二次函數(shù)的最值問(wèn)題．