Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一矩形紙片OABC，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（m，

2

）（其中m＞0），在BC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E和點(diǎn)F，將△OCE沿OE翻折，得到△OGE；再將△ABF沿AF翻折，恰好使點(diǎn)B與點(diǎn)G重合，得到△AGF，且∠OGA=90度．
（1）求m的值；
（2）求過(guò)點(diǎn)O，G，A的拋物線的解析式和對(duì)稱軸；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△OPG是等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，直接答出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（不要求寫出求解過(guò)程）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AB=AG=OG=

2

，而OA=BC=m，那么在直角三角形OGA中即可用勾股定理求出m的值．
（2）由于△OGA是個(gè)等腰直角三角形，已知了OA的長(zhǎng)，因此不難求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)O，A，G三點(diǎn)的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）本題要分情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)OP=PG，那么P點(diǎn)為OG的垂直平分線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)．因此P與H重合，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）
②當(dāng)OP=OG，那么△OPG為等腰直角三角形因此GH=PH=1，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）．
③當(dāng)GP=OG時(shí)，GP=

2

，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1+

2

），（1，1-

2

）．（在G點(diǎn)上下各有一點(diǎn)）

解答：解：（1）解法一：∵B（m，

2

），
由題意可知AG=AB=

2

，OG=OC=

2

，OA=m（2分）
∵∠OGA=90°，
∴OG²+AG²=OA²
∴2+2=m²．
又∵m＞0，
∴m=2．
解法二：∵B（m，

2

），
由題意可知AG=AB=

2

，OG=OC=

2

，OA=m
∵∠OGA=90°，
∴∠GOA=∠GAO=45°
∴m=OA=

OG

cos∠GOA

=

2

cos45°

=2．

（2）解法一：過(guò)G作直線GH⊥x軸于H，
則OH=1，HG=1，故G（1，1）．
又由（1）知A（2，0），
設(shè)過(guò)O，G，A三點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax²+bx+c
∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，
∴c=0．
又∵拋物線過(guò)G，A兩點(diǎn)，
∴

a+b=1 4a+2b=0

，
解得

a=-1 b=2

，
∴所求拋物線為y=-x²+2x，
它的對(duì)稱軸為x=1．
解法二：過(guò)G作直線GH⊥x軸于H，
則OH=1，HG=1，故G（1，1）．
又由（1）知A（2，0），
∴點(diǎn)A，O關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)．
于是可設(shè)過(guò)O，G，A三點(diǎn)的拋物線解析式為y=a（x-1）²+1，
∵拋物線過(guò)點(diǎn)O（0，0），
∴0=a（0-1）²+1，
解得a=-1，
∴所求拋物線為y=（-1）（x-1）²+1=-x²+2x
它的對(duì)稱軸為x=1．

（3）答：存在
滿足條件的點(diǎn)P有（1，0），（1，-1），（1，1-

2

），（1，1+

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、三角形全等等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．