Question

如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G。
（1）求證：點F是BD中點；
（2）求證：CG是⊙O的切線；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑。

Answer 1

解：（1）∵CH⊥AB，DB⊥AB， ∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF， ∴， ∵HE=EC， ∴BF=FD； （2）連接CB、OC， ∵AB是直徑， ∴∠ACB=90°， ∵F是BD中點， ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO， ∴∠OCF=90°， ∴CG是⊙O的切線； （3）由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC， 可證得：FA=FG，且AB=BG， 由切割線定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2    ①， 在Rt△BGF中， 由勾股定理得：BG2=FG2-BF2�、� 由①、②得：FG2-4FG-12=0， 解之得：FG1=6，F(xiàn)G2=-2（舍去） ∴AB=BG=， ∴⊙O半徑為2。