Question

【題目】把一個函數(shù)圖象上每個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼牡箶?shù)（原函數(shù)圖象上縱坐標為0的點除外）橫坐標不變，可以得到另一個函數(shù)的圖象，我們稱這個過程為倒數(shù)變換．

例如：如圖1，將y＝x的圖象經(jīng)過倒數(shù)變換后可得到y＝的圖象．特別地，因為y＝x圖象上縱坐標為0的點是原點，所以該點不作變換，因此y＝的圖象上也沒有縱坐標為0的點．

（1）請在圖2中畫出y＝﹣x﹣1的圖象和它經(jīng)過倒數(shù)變換后的圖象；

（2）觀察上述圖象，結(jié)合學(xué)過的關(guān)于函數(shù)圖象和性質(zhì)的知識．

①猜想：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象之間可能有怎樣的聯(lián)系？寫出兩條即可．

②說理：請簡要解釋你其中一個猜想；

（3）設(shè)圖2中的圖象的交點為A，B，若點C的坐標為（﹣1，m），△ABC的面積為6，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①猜想一：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象之間如果存在交點，則其縱坐標為1或﹣1；猜想二：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象的對稱性相同，比如原函數(shù)是軸對稱圖形，則倒數(shù)變換的圖象也是軸對稱圖象；②猜想一：說理見解析；（3）m＝±6．

【解析】

（1）根據(jù)描點法畫出y＝﹣x﹣1的圖象，并運用函數(shù)圖象上每個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼牡箶?shù)在平面直角坐標系中畫出y＝﹣x﹣1經(jīng)過倒數(shù)變換后的圖象.

（2）①猜想一：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象之間如果存在交點，則其縱坐標為1或﹣1；猜想二：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象的對稱性相同，比如原函數(shù)是軸對稱圖形，則倒數(shù)變換的圖象也是軸對稱圖象.

②進而利用只有1和﹣1的倒數(shù)是其本身，所以如果原函數(shù)存在一個點的縱坐標為1或﹣1，分析即可.

（3）聯(lián)立兩個函數(shù)關(guān)系式求得A,B點的坐標，將點C的坐標為（﹣1，m）代入△ABC的面積列出含m的代數(shù)表達式并使得值為6，進而求出m.

解：（1）在平面直角坐標系中畫出y＝﹣x﹣1的圖象和它經(jīng)過倒數(shù)變換后的圖象如圖：

圖中去掉（﹣1，0）的點；

（2）①猜想一：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象之間如果存在交點，則其縱坐標為1或﹣1；

猜想二：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象的對稱性相同，比如原函數(shù)是軸對稱圖形，則倒數(shù)變換的圖象也是軸對稱圖象；

②猜想一：因為只有1和﹣1的倒數(shù)是其本身，所以如果原函數(shù)存在一個點的縱坐標為1或﹣1，那么倒數(shù)變換得到的圖象上必然也存在這樣對應(yīng)的縱坐標為1或﹣1，即兩個函數(shù)圖象的交點．

（3）解得或，

∴A（﹣2，1），B（0，﹣1），

∵C（﹣1，m），

∴S△ABC＝|m|×2＝6，

解得|m|＝6，

∴m＝±6．