Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2

3

，0），⊙P剛好與x軸相切于點(diǎn)A，⊙P交y的正半軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C，且BC=4．
（1）求半徑PA的長(zhǎng)；
（2）求證：四邊形CAPB為菱形；
（3）有一開(kāi)口向下的拋物線過(guò)O，A兩點(diǎn)，當(dāng)它的頂點(diǎn)不在直線AB的上方時(shí)，求函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）作BC的弦心距PD，則PD的長(zhǎng)等于2

3

，BD=

1

2

BC，利用勾股定理即可求出；
（2）AP與BC平行且相等，所以是平行四邊形，又AP=PB，所以是菱形；
（3）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)（0，6），寫(xiě)出直線AB的解析式，再求出x=-

3

時(shí)的函數(shù)值大于拋物線的最大值，求解不等式．

解答：（1）解：作PD⊥BC于D，根據(jù)題意PB=

PD2+BD2

=

(2 3 )2+22

=4，
∴半徑PA=PB=4．

（2）證明：∵⊙P剛好與x軸相切于點(diǎn)A
∴PA⊥x軸，
∴PA∥BC，
∵PA=BC=4，
∴四邊形CAPB是平行四邊形．
又∵AP=PB，
∴平行四邊形CAPB為菱形．

（3）解：∵BD=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（0，6），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b則

b=6 -2 3 k+b=0

，
解得

k= 3 b=6

，
∴解析式是y=

3

x+6．
當(dāng)x=-

3

時(shí)，y=3，
此時(shí)設(shè)拋物線為y=ax²+bx+c，
根據(jù)題意

(-2 3 )2a+(-2 3 )b+c=0 c=0

解得b=2

3

a，
∴

4ac-b2

4a

=-3a＜3，
解得a＞-1，
又∵拋物線開(kāi)口向下，
∴-1＜a＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，還有二次函數(shù)的最值問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合也是考查點(diǎn)之一，所以本題綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生要求比較高，因此要求在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要不斷培養(yǎng)自己的解題能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)．