Question

如圖，設(shè)拋物線C₁：y＝a(x＋1)²－5，C₂：y＝－a(x－1)²＋5，C₁與C₂的交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，4)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是－2．

(1)求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)D在線段AB上，過D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，在DH的右側(cè)作正三角形DHG．過C₂頂點(diǎn)M的直線記為l，且l與x軸交于點(diǎn)N．

①若l過△DHG的頂點(diǎn)G，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，2)，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；

②若l與△DHG的邊DG相交，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍．

(注：本卷中許多問題解法不唯一，請(qǐng)老師根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵點(diǎn)A在拋物線C1上， 　　∴把點(diǎn)A坐標(biāo)代入得＝1(2分) 　　∴拋物線C1的解析式為 　　設(shè)B(－2，b)，∴b＝－4，∴B(－2，－4)(3分) 　　(2)①如圖： 　　∵M(jìn)(1，5)，D(1，2)，且DH⊥x軸，∴點(diǎn)M在DH上，MH＝5． 　　過點(diǎn)G作GE⊥DH，垂足為E， 　　由△DHG是正三角形，可得EG＝，EH＝1， 　　∴ME＝4．(4分) 　　設(shè)N(x，0)，則NH＝x－1， 　　由△MEG∽△MHN，得， 　　∴，∴(5分) 　　∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為． 　　②當(dāng)點(diǎn)Ｄ移到與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖． 　　直線l與DG交于點(diǎn)G，此時(shí)點(diǎn)Ｎ的橫坐標(biāo)最大． 　　過點(diǎn)Ｇ，M作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)Q，F(xiàn)， 　　設(shè)N(x，0) 　　∵A(2，4) 　　∴G(，2) 　　∴NQ＝ 　　NF＝　GQ＝2　MF＝5． 　　∵△NGQ∽△NMF 　　∴ 　　∴ 　　∴．(7分) 　　當(dāng)點(diǎn)D移到與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖 　　直線l與DG交于點(diǎn)D，即點(diǎn)B 　　此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最小． 　　∵B(－2，－4) 　　∴H(－2，0)，D(－2，－4) 　　設(shè)N(x，0) 　　∵△BHN∽△MFN，∴ 　　∴ 　　∴ 　　∴點(diǎn)N橫坐標(biāo)的范圍為≤x≤(8分) 　　(注：本卷中許多問題解法不唯一，請(qǐng)老師根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分)