Question

【題目】平面內，如圖，在中，，，．點為邊上任意一點，連接，將繞點逆時針旋轉得到線段．

(1)當時，求的大�。�

(2)當時，求點與點間的距離(結果保留根號)；

(3)若點恰好落在的邊所在的直線上，直接寫出旋轉到所掃過的面積(結果保留)．

Answer 1

【答案】(1)100°或80°；(2)；(3)16π或20π或32π.

【解析】

試題分析：(1)根據點Q與點B和PD的位置關系分類討論；(2)因為△PBQ是等腰直角三角形，所以求BQ的長，只需求PB，過點P作PH⊥AB于點H，確定AH:BH，求得AH和BH，解直角△APH求PH，由勾股定理求PB.(3)根據點Q在AD上，DC上，BC的延長線上，分別畫出圖形，分三種情況討論.

試題解析：(1)當點Q與B在PD的異側時，由∠DPQ=10°，∠BPQ=90°得∠BPD=80°，

∴∠APB=180°-∠BPD=100°.

當點Q與B在PD的同側時，如圖2，∠APB=180°-∠BPQ-∠DPQ=80°.

∴∠APB的度數是80°或100°.

(2)如圖2，過點P作PH⊥AB于點H，連接BQ.

∵tan∠ABP:tanA=，∴AH:HB=3:2.

而AB=10，∴AH=6，HB=4.

在Rt△PHA中，PH=AH·tanA=8.

∴PQ=PB=.

∴在Rt△PQB中，QB=PB=.

(3)①點Q在AD上時，如圖3，由tanA=得，PB=AB·sinA=8，∴扇形面積為16π.

②點A在CD上時，如圖4，過點P作PH⊥AB于點H，交CD延長線于點K，由題意∠K=90°，∠KDP=∠A.

設AH=x，則PH=AH·tanA=.

∵∠BPH=∠KQP=90°-∠KPQ，PB=QP，∴Rt△HPB≌Rt△KQP.∴KP=HB=10-x.

∴AP=，PD=，AD=15=，解得x=6.

∵，∴扇形的面積為20π.

③點Q在BC延長線上時，如圖5，過點B作BM⊥AD于點M，由①得BM=8.

又∠MPB=∠PBQ=45°，∴PB=，∴扇形面積為32π.

所以扇形的面積為16π或20π或32π.