Question

已知關(guān)于的方程：①和②，其中.
（1）求證：方程①總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），將、兩點(diǎn)按照相同的方式平移后，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好是方程②的一個(gè)根，求的值；
（3）設(shè)二次函數(shù)，在（2）的條件下，函數(shù)，的圖象位于直線(xiàn)左側(cè)的部分與直線(xiàn)（）交于兩點(diǎn)，當(dāng)向上平移直線(xiàn)時(shí)，交點(diǎn)位置隨之變化，若交點(diǎn)間的距離始終不變，則的值是________________.

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）3；（3）.

解析試題分析：（1）證明方程根的判別式大于0即可.
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，得到點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，由點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好是方程②的一個(gè)根，代入求解即可.
（3）求出過(guò)兩拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)的直線(xiàn)的即為所求.
試題解析：（1），
由知必有，故.
∴方程①總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
（2）令，依題意可解得，.
∵平移后，點(diǎn)落在點(diǎn)處，
∴平移方式是將點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到.
∴點(diǎn)按相同的方式平移后，點(diǎn)為.
則依題意有.
解得，（舍負(fù)）.
∴的值為3.
（3）在（2）的條件下，，
兩拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則過(guò)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)解析式為.
∴.

考點(diǎn)：1.一元二次方程根的判別式；2.二次函數(shù)的性質(zhì)；3.待定系數(shù)法的應(yīng)用；4.曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.平移的性質(zhì).