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        1. 【題目】A(0,4)是直角坐標(biāo)系y軸上一點(diǎn),P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),從原點(diǎn)O出發(fā),沿正半軸運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,以P為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB.設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

          (1)若AB∥x軸,求t的值;
          (2)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y),試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
          (3)當(dāng)t=3時(shí),平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)M(3,a),請(qǐng)直接寫出使△APM為等腰三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo).

          【答案】
          (1)

          解:過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C,如圖1所示.

          ∵AO⊥x軸,BC⊥x軸,且AB∥x軸,

          ∴四邊形ABCO為長(zhǎng)方形,

          ∴AO=BC=4.

          ∵△APB為等腰直角三角形,

          ∴AP=BP,∠PAB=∠PBA=45°,

          ∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°,

          ∴△AOP為等腰直角三角形,

          ∴OA=OP=4.

          t=4÷1=4(秒),

          故t的值為4


          (2)

          解:∵△APB為等腰直角三角形,

          ∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°.

          又∵∠PAO+∠APO=90°,

          ∴∠PAO=∠BPC.

          在△PAO和△BPC中, ,

          ∴△PAO≌△BPC,

          ∴AO=PC,BC=PO.

          ∵點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)P(t,0),點(diǎn)B(x,y),

          ∴PC=AO=4,BC=PO=t=y,CO=PC+PO=4+y=x,

          ∴y=x﹣4


          (3)

          解:△APM為等腰三角形分三種情況:

          ①當(dāng)AM=AP時(shí),如圖2所示.

          當(dāng)t=3時(shí),點(diǎn)P(3,0),

          ∵點(diǎn)M(3,a),點(diǎn)A(0,4),

          ∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知:

          AM= ,AP= =5,

          =5,解得:a=0(舍去),a=8.

          此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,8);

          ②當(dāng)MA=MP時(shí),如圖3所示.

          ∵點(diǎn)P(3,0),點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)M(3,a),

          ∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知:

          MA= ,MP=a,

          =a,解得:a=

          此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3, );

          ③當(dāng)PA=PM時(shí),如圖4所示.

          ∵點(diǎn)P(3,0),點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)M(3,a),

          ∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知:

          PA= =5,PM=|a|,

          ∴a=±5.

          此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,5)或(3,﹣5).

          綜上可知:當(dāng)t=3時(shí),平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)M(3,a),使△APM為等腰三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,8),(3, ),(3,5)和(3,﹣5)


          【解析】(1)由AB∥x軸,可找出四邊形ABCO為長(zhǎng)方形,再根據(jù)△APB為等腰三角形可得知∠OAP=45°,從而得出△AOP為等腰直角三角形,由此得出結(jié)論;(2)先證出△PAO≌△BPC,即可得出各邊的關(guān)系,利用坐標(biāo)系中點(diǎn)的意義即可得出個(gè)線段的長(zhǎng)度,由相等的量可得出結(jié)論;(3)由等腰三角形的性質(zhì)可知,若△APM為等腰三角形只需找到一組臨邊相等即可,臨邊相等分三種情況,分類討論結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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