Question

 已知∠ABC=90°，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABE和△APQ,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交BP于點(diǎn)F.

（1）如圖1，若AB=，點(diǎn)A、E、P恰好在一條直線上時(shí)，求此時(shí)EF的長(zhǎng)（直接寫(xiě)出結(jié)果）；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想EF與圖中的哪條線段相等（不能添加輔助線產(chǎn)生新的線段），并加以證明；

（3）若AB=，設(shè)BP=4，求QF的長(zhǎng)．

 

Answer 1

1）EF=2（2）EF=BF，見(jiàn)解析（3）6

解析:解：（1）EF=2．                   3分

（2）EF=BF．                                　　 4分

證明： ∵ ∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP， 

∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，

∴ ∠BAP=∠EAQ ．               

在△ABP和△AEQ中， 

AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ，

∴ △ABP≌△AEQ．

∴ ∠AEQ=∠ABP=90°．

∴ ∠BEF．

又∵ ∠EBF=90°-60°=30°，

∴EF=BF．                           8分

　　(3) 在圖1中，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥BE于點(diǎn)D．

     　∵ △ABE是等邊三角形,

    　∴ BE=AB=．

由（2）得 30°，

       在Rt△BDF中， ．   

∴  BF= ．  

∴  EF=2  ．   　　　 10分

∵  △ABP≌△AEQ ,

      ∴  QE=BP=4．   　　12分

∴  QF=QE＋EF＝4＋2＝6

（1）利用解直角三角形求解

（2）利用全等三角形求證

(3)過(guò)點(diǎn)F作FD⊥BE于點(diǎn)D，利用三角函數(shù)求出EF的長(zhǎng)，再求證△ABP≌△AEQ，求得QE的長(zhǎng)，從而求出QF的長(zhǎng)