Question

如圖，ABCD為平行四邊形，AD=a,BE∥AC,DE交AC的延長線于F點，交BE于E點.

（1）   求證：DF=FE;

（2）   若AC=2CF,∠ADC=60 ^o, AC⊥DC,求BE的長;

（3）   在（2）的條件下，求四邊形ABED的面積.

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：延長DC交BE于點M，

∵BE∥AC，AB∥DC,∴四邊形ABMC是平行四邊形，

∴CM=AB=DC,C為DM的中點，BE∥AC，DF=FE;

（2）由（2）得CF是△DME的中位線，故ME=2CF,

又∵AC=2CF，四邊形ABMC是平行四邊形，

∴BE=2BM=2ME=2AC, 又∵AC⊥DC,

∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=, ∴=.

 (3)可將四邊形ABED的面積分為兩部分，梯形ABMD和三角形DME,

在Rt△ADC中利用勾股定理得DC=,

由CF是△DME的中位線得CM=DC=,

四邊形ABMC是平行四邊形得AM=MC=,BM=AC=,

∴梯形ABMD面積為：;

由AC⊥DC和BE∥AC可證得三角形DME是直角三角形，

其面積為：,

∴四邊形ABED的面積為+

【解析】（1）可過點C延長DC交BE于M，可得C，F分別為DM，DE的中點；

（2）在直角三角形ADC中利用勾股定理求解即可；

（3）求四邊形ABED的面積，可分解為求梯形ABMD與三角形DME的面積，然后求兩面積之和即可．