Question

【題目】如圖，以D為頂點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線BC的表達(dá)式為y=﹣x+3．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在直線BC上有一點(diǎn)P，使PO+PA的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P ( ,)；（3）當(dāng)Q的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）時(shí)，以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似．

【解析】

（1）先求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程，從而可求得b、c的值；（2）作點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)O′，則O′（3，3），則OP+AP的最小值為AO′的長(zhǎng)，然后求得AO′的解析式，最后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求得CD、BC、BD的長(zhǎng)，依據(jù)勾股定理的逆定理證明△BCD為直角三角形，然后分為△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB兩種情況求解即可．

（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，

∴C（0，3）．

把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，

∴B（3，0），A（﹣1，0）.

將C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得： ，解得b=2，c=3．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）如圖所示：作點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)O′，則O′（3，3）．

∵O′與O關(guān)于BC對(duì)稱，

∴PO=PO′．

∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．

∴OP+AP的最小值=O′A==5．

O′A的方程為y=

P點(diǎn)滿足解得：

所以P ( ,)

（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）．

又∵C（0，3，B（3，0），

∴CD=，BC=3，DB=2．

∴CD2+CB2=BD2，

∴∠DCB=90°．

∵A（﹣1，0），C（0，3），

∴OA=1，CO=3．

∴．

又∵∠AOC=DCB=90°，

∴△AOC∽△DCB．

∴當(dāng)Q的坐標(biāo)為（0，0）時(shí)，△AQC∽△DCB．

如圖所示：連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥AC，交x軸與點(diǎn)Q．

∵△ACQ為直角三角形，CO⊥AQ，

∴△ACQ∽△AOC．

又∵△AOC∽△DCB，

∴△ACQ∽△DCB．

∴，即，解得：AQ=10．

∴Q（9，0）．

綜上所述，當(dāng)Q的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）時(shí)，以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似．