Question

關(guān)于的方程2x³+（2-m）x²-（m+2）x-2=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α、β、x₀，其中根x₀與m無關(guān)．
（1）如（α+β）x₀=-3，求實(shí)數(shù)m的值．
（2）如α＜a＜b＜β，試比較：與的大小，并說明你的理由．

Answer 1

解：（1）由2x³+（2-m）x²-（m+2）x-2=0得（x+1）（2x²-mx-2）=0，∴x₀=-1，
α、β是方程2x²-mx-2=0的根∴，
∵（α+β）x₀=-3，所以m=6

（2）設(shè)T=-=
∵a＜b，∴b-a＞0，又a²+1＞0，b²+1＞0，∴＞0
設(shè)f（x）=2x²mx-2，所以α、β是f（x）=2x²mx-2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，
∵α＜a＜b＜β
∴，即
∴ma+mb＞2a²+2b²-4
∴4-4ab+ma+mb＞2（a-b）²＞0
∴T＞0，即＞
分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)則x₁+x₂=-，x₁•x₂=代入數(shù)值計(jì)算．
（2）兩式相減求得代數(shù)式，設(shè)f（x）=2x²mx-2，代入α、β的大小關(guān)系，根據(jù)其大小關(guān)系進(jìn)行判斷．
點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．