Question

如圖，把拋物線y=x²與直線y=1圍成的圖形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，再沿x軸向右平移1個(gè)單位得到圖形O₁A₁B₁C₁，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的有（　　）個(gè)．
①點(diǎn)O₁的坐標(biāo)是（0，1）；②點(diǎn)C₁的坐標(biāo)是（2，-1）；③四邊形OBA₁B₁是矩形；④若連接OC，則梯形OCA₁B₁的面積是3；⑤點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為3；⑥兩陰影面積的和是π．

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

分析：首先求出A、B、C的坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出A₁、B₁、C₁、O₁的坐標(biāo)；然后再來(lái)判斷各結(jié)論是否正確．

解答：解：易知：A（-1，1），B（0，1），C（1，1）；
∴AB=BC=OB=1，OA=OC=

2

；
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A₁B₁=AB=B₁C₁=1，O₁B₁=OB=1；
所以O(shè)₁（1，0），B₁（2，0），A₁（2，1），C₁（2，-1）；
故①錯(cuò)誤，②正確；
∵OB=B₁A₁，且BO⊥x軸，A₁B₁⊥x軸，
∴A、B、C、A₁在同一條直線上；
易知：OB∥A₁B₁，且OB=A₁B₁，
∴四邊形OBA₁B₁是平行四邊形，又∠BOB₁=90°，
∴四邊形OBA₁B₁是矩形；
故③正確；
∵A₁B=OB₁=2，BC=1，
∴AC=1，S_梯形A1COB1=

1

2

（A₁C+OB₁）•A₁B₁=

1

2

×（1+2）×1=

3

2

；
故④錯(cuò)誤；
點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑分為兩部分：一、以O(shè)為圓心OA為半徑的

1

4

圓周的長(zhǎng)，二、向右平移1個(gè)單位的長(zhǎng)；
即：2

2

π×

1

4

+1=

2

π+1，故⑤錯(cuò)誤；
由于陰影部分不是兩個(gè)半圓，故⑥錯(cuò)誤．
所以正確的結(jié)論是②③，錯(cuò)誤的結(jié)論是①④⑤⑥；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到：圖形的旋轉(zhuǎn)變換、矩形的判定、梯形面積的計(jì)算方法、弧長(zhǎng)計(jì)算公式等知識(shí)，需要細(xì)心求解．