Question

已知：如圖，延長(zhǎng)⊙O的直徑AB到點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CE與⊙O相切于點(diǎn)D，AE⊥EC交⊙O于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)E，連接AD．
（1）若CD=2，CB=1，求⊙O直徑AB的長(zhǎng)；
（2）求證：AD²=AC•AF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切割線定理可以求出AC的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)；
（2）可以通過(guò)證明△AFD∽△ADC得出AD²=AC×AF．

解答：（1）解：∵CD與⊙O相切，
∴CD²=CB•CA=CB•（CB+AB），
又∵CD=2，CB=1，
∴4=1•（1+AB），
∴AB=3；

（2）證法一：如圖，連接FD、OD，
在△AFD和△ADC中，
∵EC與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥EC，
∠1=∠ADC  ①
又∵AE⊥EC，
∴AE∥OD，
∴∠4=∠2，
而∠2=∠3，
∴∠3=∠4  ②
由①、②可知△AFD∽△ADC，
∴

AD

AC

=

AF

AD

，
∴AD²=AC•AF；
證法二：如圖，連接FD、BD，
在△AFD和△ADC中，
∵EC與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴∠5=∠ADE，∠1=∠ADC  ①
又∠AED=∠ADB=90°，
∴∠3=∠4 ②
由①、②可知△AFD∽△ADC，
∴

AD

AC

=

AF

AD

，
∴AD²=AC•AF．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，希望能將所學(xué)知識(shí)融匯貫通．