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        1. 如圖,菱形ABCD中,BE⊥AD于點(diǎn)E,AC交BE于點(diǎn)F,連接DF,AD=5,BE=4.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線A-D-C方向以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
          (1)請(qǐng)求出線段EF的長(zhǎng)度;
          (2)設(shè)PF2=y,請(qǐng)直接寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
          (3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,若∠FPD與∠BCD互余,求此時(shí)直線BP與直線AC所夾銳角的正切值.
          分析:(1)由菱形的“四條邊相等,對(duì)邊互相平行的性質(zhì)以及勾股定理”求得AE=3.然后根據(jù)相似三角形(△AEF∽△CBF)的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式
          AE
          BC
          =
          EF
          BF
          ,即
          3
          5
          =
          EF
          4-EF
          ,易求EF的長(zhǎng)度;
          (2)分P在AD上和P在CD上兩種情況進(jìn)行討論,當(dāng)0≤t≤5時(shí),在直角△EFP中利用勾股定理即可求得;當(dāng)5<t≤10時(shí),作CD的垂線BM,在直角△BMP中,利用勾股定理即可求得函數(shù)的解析式;
          (3)若∠BCD+∠FPD=90°,易證△ABF≌△ADF,則∠3=∠ABE=∠FPD,當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)可以證得△APG∽△CBG,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得AG的長(zhǎng),進(jìn)而得到OG的長(zhǎng),根據(jù)三角函數(shù)的定義求解;當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí),易證△ABG∽△CPG,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可求得CG的長(zhǎng),進(jìn)而得到OG的長(zhǎng),然后利用三角函數(shù)的定義即可求解.
          解答:解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,
          ∴AB=AD=BC=CD=5,AD∥BC,AB∥CD.
          ∵BE⊥AD,
          ∴在Rt△ABE中,AE=
          AB2-BE2
          =
          52-42
          =3.
          ∵AD∥BC,
          ∴△AEF∽△CBF,
          AE
          BC
          =
          EF
          BF
          ,即
          3
          2
          5
          2
          =
          EF
          4-EF
          ,
          ∴EF=
          3
          2
          ;

          (2)當(dāng)0≤t≤5時(shí),y=(t-3)2+
          9
          4

          當(dāng)5<t≤10時(shí),y=(t-5)2+
          25
          4


          (3)連接BP交AC于點(diǎn)G,連接BD交AC于點(diǎn)O.
          在Rt△BED中,BD=
          DE2+BE2
          =2
          5
          ,
          ∵菱形ABCD,
          ∴∠BCD=∠BAD,∠1=∠2,BD⊥AC.BO=OD=
          5
          ,AO=CO,
          ∴Rt△AOD中,AO=
          AD2-OD2
          =2
          5
          =CO.
          ∴Rt△ABE中,∠ABE+∠BAD=90°,
          ∴若∠BCD+∠FPD=90°,則∠FPD=∠ABE,
          在△ABF和△ADF中,
          AB=AD
          ∠DAF=∠BAF
          AF=AF

          ∴△ABF≌△ADF,
          ∴∠3=∠ABE=∠FPD,
          當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí),∵∠3=∠FPD,
          ∴PF=DF
          ∵EF⊥PD,
          ∴PE=DE=2,
          ∵AD∥BC
          ∴△APG∽△CBG,
          AP
          CB
          =
          AG
          CG
          ,即
          1
          5
          =
          AG
          4
          5
          -AG
          ,
          ∴AG=
          2
          5
          3
          ,
          ∴OG=
          4
          5
          3
          ,
          ∴Rt△BOG中,tan∠BGO=
          OB
          OG
          =
          5
          4
          5
          3
          =
          3
          4
          ,
          ∵菱形ABCD中,BE⊥AD,∠ACB=∠ACD,
          ∴BE⊥BC,即∠FBC=90°,
          在△BCF和△DCF中,
          DC=BC
          ∠DCF=∠BCF
          CF=CF
          ,
          ∴△BCF≌△DCF,
          ∴∠FED=∠FDP=90°
          又∵當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí),∠3=∠FPD,
          ∴△FED∽△FDP,
          FE
          FD
          =
          ED
          DP
          ,即
          3
          5
          =
          2
          DP
          ,
          ∴DP=
          10
          3
          ,
          ∴CP=
          5
          3
          ,
          ∵AB∥CD,
          ∴△ABG∽△CPG,
          CP
          AB
          =
          CG
          AG
          ,即
          5
          3
          5
          =
          CG
          4
          5
          -CG
          ,
          ∴CG=
          5
          =OG,
          ∴Rt△BOG中,tan∠BGO=
          OB
          OG
          =
          5
          5
          =1.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形、三角形全等、三角形相似的綜合應(yīng)用,正確證得三角形相似是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          26、已知:如圖,菱形ABCD中,E,F(xiàn)分別是CB,CD上的點(diǎn),且BE=DF.
          (1)求證:AE=AF;
          (2)若∠B=60°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為BC和CD的中點(diǎn),求證:△AEF為等邊三角形.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=2,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿B→C→D向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),以相同的速度沿A→D→B向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí),點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)△APQ的面積為y,則反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是( 。
          A、精英家教網(wǎng)B、精英家教網(wǎng)C、精英家教網(wǎng)D、精英家教網(wǎng)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,菱形ABCD中,∠BAD=60°,M是AB的中點(diǎn),P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若AB長(zhǎng)為2
          3
          ,則PM+PB的最小值是
          3
          3

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖:菱形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),且CE⊥AB,AB=6cm.
          求:(1)∠BCD的度數(shù);
          (2)對(duì)角線BD的長(zhǎng);
          (3)菱形ABCD的面積.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,菱形ABCD中,∠ADC=120°,AB=10,
          (1)求BD的長(zhǎng).
          (2)求菱形的面積.

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