Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交于，兩點(diǎn),且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A. 點(diǎn)B重合)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E.當(dāng)PE=2ED時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是直線(xiàn)上方的拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的面積最大時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y=x2＋4x＋5（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，7）；（3）P（，）.

【解析】

（1）先由點(diǎn)B在直線(xiàn)y＝x＋1上求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E、D的坐標(biāo)，從而可表示出PE和ED的長(zhǎng)，由條件可知到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）連接AP,BP，根據(jù)S= S+ S=，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最大值，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）∵點(diǎn)B（4，m）在直線(xiàn)y＝x＋1上，

∴m＝4＋1＝5，

∴B（4，5），

把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可得

，

解得

，

∴拋物線(xiàn)解析式為y＝x2＋4x＋5；

（2）設(shè)P（x，x2＋4x＋5），則E（x，x＋1），D（x，0），

則PE＝|x2＋4x＋5（x＋1）|＝|x2＋3x＋4|，DE＝|x＋1|，

∵PE＝2ED，

∴|x2＋3x＋4|＝2|x＋1|，

當(dāng)x2＋3x＋4＝2（x＋1）時(shí)，解得x＝1或x＝2，但當(dāng)x＝1時(shí)，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（2，9）；

當(dāng)x2＋3x＋4＝2（x＋1）時(shí)，解得x＝1或x＝6，但當(dāng)x＝1時(shí)，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（6，7）；

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，7）；

（3）∵點(diǎn)P是直線(xiàn)上方的拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)（x，x2＋4x＋5），則E（x，x＋1），D（x，0），

則PE＝x2＋4x＋5（x＋1）＝x2＋3x＋4，

∴= S+ S==

=

∴當(dāng)x=，的面積最大

把x=代入y＝x2＋4x＋5，解得y=

故P（，）.