Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0）、B（0，3），過點B作直線∥x軸，點P（a，3）是直線上的動點，以AP為邊在AP右側(cè)作等腰RtAPQ，∠APQ=Rt∠，直線AQ交y軸于點C．

（1）當(dāng)a=1時，則點Q的坐標(biāo)為；
（2）當(dāng)點P在直線上運動時，點Q也隨之運動．當(dāng)a=時，AQ+BQ的值最小為 ．

Answer 1

【答案】
（1）（4,4）
（2）,
【解析】（1）過點P作PE⊥OA，垂足為E，過點Q作QF⊥BP，垂足為F，如圖1．

∵BP∥OA，PE⊥OA，

∴∠EPF=∠PEO=90°．

∵∠APQ=90°，

∴∠EPA=∠FPQ=90°﹣∠APF．在△PEA和△PFQ中， ，

∴△PEA≌△PFQ．

∴PE=PF，EA=QF．

∵a=1，

∴P（1，3）．

∴OE=BP=1，PE=3．

∵A（2，0），

∴OA=2，

∴EA=1．

∴PF=3，QF=1．

∴點Q的坐標(biāo)為（4，4）．

（ 2 ）若點P的坐標(biāo)為（a，3），則PF=PE=3，QF=AE=|2﹣a|．

∴點Q的坐標(biāo)為（a+3，5﹣a）．

∵無論a為何值，點Q的坐標(biāo)（a+3，5﹣a）都滿足一次函數(shù)解析式y(tǒng)=﹣x+8，

∴點Q始終在直線y=﹣x+8上運動．設(shè)直線y=﹣x+8與x軸、y軸分別交于點M、N，如圖2所示．

當(dāng)x=0時y=8，當(dāng)y=0時x=8．

∴OM=ON=8．

∵∠AOB=90°，

∴∠OMN=45°．

過點A關(guān)于直線MN作對稱點A′，連A′Q、A′M，則A′Q=AQ，A′M=AM=6，∠A′MN=∠AMN=45°．

∴∠A′MA=90°，AQ+BQ=A′Q+BQ．根據(jù)兩點之間線段最短可知：當(dāng)A′、Q、B三點共線時，AQ+BQ=A′Q+BQ最短，最小值為A′B長．設(shè)直線BP與A′M相交于點H，

則BH⊥A′M．在Rt△A′HB中，∠A′HB=90，BH=OM=8，A′H=A′M﹣MH=6﹣3=3，

∴A′B= = = ．當(dāng)A′、Q、B三點共線時，

∵BN∥A′M，

∴△BQN～△A′QM．根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比可得： ，解得xQ= ．

∴a+3= ．

∴a= ．

∴當(dāng)a= 時，AQ+BQ的值最小為 ．

所以答案是：（1）（4，4）；（2） ； ．

【考點精析】利用平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．