Question

如圖，矩形ABCD中，E為BC上一點，DF⊥AE于F．
（1）△ABE與△ADF相似嗎？請說明理由．
（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的長．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的性質和DF⊥AE，可得∠ABE=∠AFD=90°，∠AEB=∠DAF，即可證明△ABE∽△DFA．
（2）利用△ABE∽△ADF，得

AE

AD

=

AB

DF

，再利用勾股定理，求出AE的長，然后將已知數值代入即可求出DF的長．

解答：解：（1）△ABE與△ADF相似．理由如下：
∵四邊形ABCD為矩形，DF⊥AE，
∴∠ABE=∠AFD=90°，
∠AEB=∠DAF，
∴△ABE∽△DFA．

（2）∵△ABE∽△ADF
∴

AE

AD

=

AB

DF

，
∵在Rt△ABE中，AB=6，BE=8，
∴AE=10
∴DF=

AB•AD

AE

=

6×12

10

=7.2．
答：DF的長為7.2．

點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質、勾股定理和矩形的性質的理解和掌握，難度不大，屬于基礎題．