Question

（2011•鶴崗模擬）如圖，O是邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的對(duì)稱中心，P為OD上一點(diǎn)，OP=b（0＜b＜

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a），連接AP，把一個(gè)邊長(zhǎng)均大于

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a的直角三角板的直角頂點(diǎn)放置于P點(diǎn)處，讓三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)保持三角板的兩直角邊分別與正方形的BC、CD邊（含端點(diǎn)）相交，其交點(diǎn)為E、F．
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，PE的長(zhǎng)能否與AP的長(zhǎng)相等？若能，請(qǐng)作出此時(shí)點(diǎn)E的位置，并給出證明；若不能，請(qǐng)說明理由．
（2）探究在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EF與AP長(zhǎng)的大小關(guān)系，并對(duì)你得出的結(jié)論給予證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠ABP=∠CBP=45°，BA=BC，則△BPA≌△BPC，得PA=PC，于是有當(dāng)PE運(yùn)動(dòng)到PC位置時(shí)（點(diǎn)E與C重合）時(shí)，PE=AP；
（2）過P點(diǎn)作PM⊥DC于M，PN⊥BC于N，連EF，MN，PC，則PE＞PN，PF＞PM，利用勾股定理得到EF＞MN，即有EF＞PA，當(dāng)點(diǎn)E與N重合，則F點(diǎn)與M重合，此時(shí)EF=PA，于是有
線段EF≥AP．

解答：解：（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，PE的長(zhǎng)能與AP的長(zhǎng)相等．如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABP=∠CBP=45°，BA=BC，
∴△BPA≌△BPC，
∴PA=PC，
∴當(dāng)PE運(yùn)動(dòng)到PC位置時(shí)（點(diǎn)E與C重合）時(shí)，PE=AP；

（2）線段EF≥AP．理由如下：
過P點(diǎn)作PM⊥DC于M，PN⊥BC于N，連EF，MN，PC，如圖，
∴PE＞PN，PF＞PM，
而EF=

PE2+PF2

，MN=

PN2+PM2

，
∴EF＞MN，
又∵M(jìn)N=PC=PA，
∴EF＞PA，
當(dāng)點(diǎn)E與N重合，則F點(diǎn)與M重合，此時(shí)EF=PA，
∴在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EF≥AP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形、矩形的性質(zhì)以及勾股定理．