Question

如圖是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)示意圖，橫斷面的地平線為x 軸，橫斷面的對(duì)稱(chēng)軸為y 軸，橋拱的D′GD 部分為一段拋物線，頂點(diǎn)G 的高度為8米，AD 和AD′是兩側(cè)高為5.5米的立柱，OA 和OA′為兩個(gè)方向的汽車(chē)通行區(qū)，寬都為15米，線段CD 和CD′為兩段對(duì)稱(chēng)的上橋斜坡，其坡度為1∶4．（1）求橋拱DGD′所在拋物線的解析式及CC′的長(zhǎng)．（2）BE 和B′E′為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應(yīng)的AB 和A′B′為兩個(gè)方向的行人及非機(jī)動(dòng)車(chē)通行區(qū)，試求AB 和A′B′的寬．（3）按規(guī)定，汽車(chē)通過(guò)橋下時(shí)，載貨最高處和橋拱之間的距離不可小于0.4米，今有一大型運(yùn)貨汽車(chē)，裝載上大型設(shè)備后，其寬為4米，車(chē)載大型設(shè)備的頂部與地面的距離為7米，它能否從OA（OA′）安全通過(guò)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【分析】欲求函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求出三個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法求之．所以關(guān)鍵是由題中線段的長(zhǎng)度計(jì)算出D、G、D′的坐標(biāo)，當(dāng)然也可由對(duì)稱(chēng)軸x＝0解之．

至于求CC′、AB、A′B′的數(shù)值，則關(guān)鍵是由坡度的定義求解之；到底能否安全通過(guò)，則只需在拋物線的解析式中令x＝4，求出相應(yīng)的y 值，即可作出明確的判斷．

【解】（1）由題意和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x＝0，可設(shè)拋物線的解析式為y＝ax²＋c．

由題意得G（0，8），D（15，5.5）

∴ 

∴ 

∴  y＝＋8．

又  ＝且AD＝5.5，

∴  AC＝5.5×4＝22（米）．

∴  CC′＝2C＝2×（OA＋AC）＝2×（15＋22）＝74（米）．

∴  CC′的長(zhǎng)是74米．

（2）∵  ＝，BE＝4，

∴  BC＝16．

∴  AB＝AC－BC＝22－16＝6（米）．

A′B′＝AB＝6（米）．

（3）此大型貨車(chē)可以從OA（OA′）區(qū)域安全通過(guò)．

在y＝＋8中，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝－×16＋8＝，而

－（7＋0.4）＝＞0，

∴  可以從OA 區(qū)域安全通過(guò)．