Question

如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（3，3）．
（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點B（6，m），求m的值和這個一次函數(shù)的解析式；
（3）第（2）問中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D，求過A、B、D三點的三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法，由正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（3，3），即可求得解析式；
（2）由點B在反比例函數(shù)圖象上，即可求得m的值；又由此一次函數(shù)是正比例函數(shù)平移得到的，可知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的比例系數(shù)相同，代入點B的坐標即可求得解析式；
（3）構(gòu)造直角梯形AEFD，則通過求解△ABE、△BDF與直角梯形ADFE的面積即可求得△ABD的面積．

解答：解：（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=ax，反比例函數(shù)的解析式為y=

b

x

，
∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（3，3），
∴3=3a，3=

b

3

，
∴a=1，b=9，
∴正比例函數(shù)的解析式為y=x，反比例函數(shù)的解析式為y=

9

x

；

（2）∵點B在反比例函數(shù)上，
∴m=

9

6

=

3

2

，
∴B點的坐標為（6，

3

2

），
∵直線BD是直線OA平移后所得的直線，
∴可設(shè)直線BD的解析式為y=x+b，
∴

3

2

=6+b，
∴b=-

9

2

，
∴這個一次函數(shù)的解析式為y=x-

9

2

；

（3）過點B作EF∥y軸，過點A作AE∥x軸交EF于E，過點D作DF∥x軸交EF于F，
∴點E的坐標為（6，3），點F的坐標為（6，-

9

2

），
∵點D在直線BD上，
∴點D的坐標為（0，-

9

2

），
∴AE=3，EF=3+

9

2

=

15

2

，DF=6，BE=3-

3

2

=

3

2

，BF=

9

2

+

3

2

=6，
∴S_△ABD=S_梯形AEFD-S_△ABE-S_△BDF
=

1

2

（AE+DF）•EF-

1

2

AE•BE-

1

2

DF•EF
=

1

2

×（3+6）×

15

2

-

1

2

×3×

3

2

-

1

2

×6×6=

27

2

．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式與三角形面積的求解方法等知識．主要考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．