Question

（2005•大連）如圖，拋物線(xiàn)y=-x²+（m+2）x-3（m-1）交x軸于點(diǎn)A、B（A在B的右邊），直線(xiàn)y=（m+1）x-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．若m＜1．
（1）求拋物線(xiàn)和直線(xiàn)的解析式；
（2）直線(xiàn)y=kx（k＜0）交直線(xiàn)y=（m+1）x-3于點(diǎn)P，交拋物線(xiàn)y=-x²+（m+2）x-3（m-1）于點(diǎn)M，過(guò)M點(diǎn)作x軸垂線(xiàn)，垂足為D，交直線(xiàn)y=（m+1）x-3于點(diǎn)N．問(wèn)：△PMN能否為等腰三角形？若能，求k的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)和直線(xiàn)的解析式可知：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=m-1，x=3．而直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=，由于兩函數(shù)都過(guò)A點(diǎn)，因此可求出三組m的值：①m=0，②m=2，③m=-2，由于m＜1，因此②舍去，根據(jù)拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么△＞0，由此可舍去③．因此m的值為0，代入兩函數(shù)中即可求出兩函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)直線(xiàn)的解析式可求出A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，這時(shí)可發(fā)現(xiàn)∠PNM=45°，如果要使△PMN是等腰三角形，應(yīng)該滿(mǎn)足的條件是PN=NM，PN=PM（當(dāng)PM=MN時(shí)，直線(xiàn)y=kx與x軸重合，與k＜0不符）．
①當(dāng)PN=MN時(shí)，∠PMN=45°，因此∠ODM=45°，直線(xiàn)y=kx在二四象限的角平分線(xiàn)上，因此k=-1．
②當(dāng)PN=MN時(shí)，過(guò)P作y軸的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為H，由于MN∥OC，因此∠NPM=∠NMP=∠COP=∠CPO，那么OC=CP=3，可在直角三角形PHC中，求出PH和CH的值．根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出k的值．
解答：解：（1）拋物線(xiàn)解析式為y=-x²+2x+3．直線(xiàn)解析式為y=x-3．

（2）如圖，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-3），∠PNM=45°若△PNM為等腰三角形，且k＜0，則PN=PM或PN=MN．

當(dāng)PN=PM時(shí)，OD=DM，設(shè)M（m，-m），k=-1，
當(dāng)PN=MN時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直y軸于點(diǎn)H．
PH=OH=3-
點(diǎn)P坐標(biāo)為（，-3）
則k=1-．
綜上所述，△PMN能為等腰三角形，k的值為-1或1-．
點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合、方程函數(shù)的數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)綜合題中充分利用，對(duì)題目的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又分析其幾何意義，力圖在代數(shù)和幾何的結(jié)合上找出解題思路．