Question

25、在菱形ABCD中，∠B=60°，AC是對(duì)角線．
（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且BE=CF．
①求證：△ABE≌△ACF；
②求證：△AEF是等邊三角形．
（2）若點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，在直線CD上是否存在點(diǎn)F，使△AEF是等邊三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論（圖2備用）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ACB=∠ACF，根據(jù)SAS判定：△ABE≌△ACF；
（2）由全等得到AE=AF，∠BAE=∠CAF，因?yàn)椤螧AE+∠CAE=60°，所以∠CAF+∠CAE=60°，即△AEF是等邊三角形．

解答：解：證明：（1）
①∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC，∠ACB=∠ACF（2分）
又∵∠B=60°
∴△ABC是等邊三角形（1分）
∴AB=AC，∠ACB=60°
∴∠B=∠ACF（1分）
∵BE=CF
∴△ABE≌△ACF；（1分）

②由△ABE≌△ACF
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF（2分）
∵∠BAE+∠CAE=60°
∴∠CAF+∠CAE=60°，即∠EAF=60°
∴△AEF是等邊三角形．（2分）

（2）存在（1分）
證明：在CD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使CF=BE
與（1）①同理可證△ABE≌△ACF（2分）
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF（1分）
∴∠CAF-∠CAE=∠BAE-∠CAE
∴∠EAF=∠BAC=60°
∴△AEF是等邊三角形．（1分）
注：若在CD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使CE=DF亦可．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，全等三角形的判定方法等知識(shí)點(diǎn)，做題時(shí)要求學(xué)生對(duì)其靈活運(yùn)用．