Question

（2013•響水縣一模）如圖甲，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，3），拋物線y=

3

4

x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，且對稱軸是直線x=-

5

2

．
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）將圖甲中的△ABO沿x軸向左平移得到△DCE（如圖乙），當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，請說明點(diǎn)C和點(diǎn)D都在該拋物線上．
（3）在（2）中，若點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)C、D重合），通過M作MN∥y軸交直線CD于N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，MN的長度為l，求l與t之間的函數(shù)解析式．并求當(dāng)為何值時(shí)，以M、N、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式、聯(lián)合對稱軸x=-

b

2a

列出關(guān)于系數(shù)b、c的方程組，通過解方程組來求它們的值；
（2）由平移的性質(zhì)易求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，將它們的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)易求直線CD的解析式為y=-

3

4

x-

3

4

．根據(jù)已知條件知點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)都是t，則l的值就是點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)之差．由平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)推知MN=CE=3，利用所求的l與t間的函數(shù)式可以求得相應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）由已知，得

- b 2× 3 4 =- 5 2 c=3.

，
解得

b= 15 4 c=3.

．
∴二次函數(shù)的解析式為y=

3

4

x2+

15

4

x+3；

（2）在Rt△ABO中，
∵OA=4，OB=3，
∴AB=5．
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AD=AB=5．
∵△ABO沿x軸向左平移得到△DCE，
∴CE=OB=3．
∴C（-5，3）、D（-1，0）．
當(dāng)x=-5時(shí)，y=

3

4

×(-5)2+

15

4

×(-5)+3=3，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=

3

4

×(-1)3+

15

4

×(-1)+3=0，
∴C、D在該拋物線上；

（3）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，則

-k+b=0 -5k+b=3.

，
解得

k=- 3 4 b=- 3 4 .

∴y=-

3

4

x-

3

4

．
∵M(jìn)N∥y軸，
∴M、N的橫坐標(biāo)均為t．
當(dāng)M在直線CD的上方時(shí)，有l=MN=(

3

4

t2+

15

4

t+3)-(-

3

4

t-

3

4

)=

3

4

t2+

9

2

t+

15

4

；
當(dāng)M在直線CD的下方時(shí)，有l=MN=(-

3

4

t-

3

4

)-(

3

4

t2+

15

4

t+3)=-

3

4

t2-

9

2

t-

15

4

．
∴l(xiāng)與t之間的函數(shù)解析式為l=

3

4

t2+

9

2

t+

15

4

或l=-

3

4

t2-

9

2

t-

15

4

．
由于MN∥CE，要使以點(diǎn)M、N、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，只需MN=CE=3，
當(dāng)

3

4

t2+

9

2

t+

15

4

=3時(shí)，解得t1=-2

2

-3，t2=2

2

-3；
當(dāng)-

3

4

t2-

9

2

t-

15

4

=3時(shí)，解得t₃=t₄=-3．
即當(dāng)t=-2

2

-3或2

2

-3或-3時(shí)，以點(diǎn)M、N、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)．在求有關(guān)動點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．