Question

（2013•廈門(mén)）已知點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線y=-x+m+n與雙曲線y=

1

x

交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（m，n）（m≥2）和B（p，q）．直線y=-x+m+n與y軸交于點(diǎn)C，求△OBC的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：先確定直線y=-x+m+n與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m+n），D點(diǎn)坐標(biāo)為（m+n，0），則△OCD為等腰直角三角形，根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性得到點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（n，m），根據(jù)三角形面積公式得到S_△OBC=

1

2

（m+n）•n，然后mn=1，m≥2確定S的范圍．

解答：解：如圖，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m+n），D點(diǎn)坐標(biāo)為（m+n，0），則△OCD為等腰直角三角形，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（n，m），
∴S=S_△OBC=

1

2

（m+n）•n=

1

2

mn+

1

2

n²，
∵點(diǎn)A（m，n）在雙曲線y=

1

x

上，
∴mn=1，即n=

1

m

∴S=

1

2

+

1

2

（

1

m

）²
∵m≥2，
∴0＜

1

m

≤

1

2

，
∴0＜（

1

m

）²≤

1

4

，
∴

1

2

＜S≤

5

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．