Question

（2012•鎮(zhèn)江模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以每秒2cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q也從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1cm的速度向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．解答下列問題：
（1）當(dāng)0＜t≤3時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能與△ADE相似嗎？（不必說理由）
（2）連接DQ，試求當(dāng)t為何值時(shí)？△ADQ為等腰三角形．
（3）求t為何值時(shí)？直線PQ平分矩形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）不能相似，因?yàn)橄嗨茣r(shí)，只能∠AQP=90°，∠QPA=30°，而△ADE中的銳角不能為30°；
（2）分為三種情況：①當(dāng)AD=AQ=3cm時(shí)，②當(dāng)DA=DQ時(shí)，過D作DM⊥AE于M，③當(dāng)QA=QD時(shí)，求出AQ長即可；
（3）連接AC，取AC中點(diǎn)O（即AO=OC），當(dāng)直線PQ過O時(shí)，直線PQ平分矩形ABCD的面積，根據(jù)△ROC≌△POA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t-2，EQ=5-t，根據(jù)△RQE∽△PQA得出

RE

AP

=

EQ

AQ

，代入求出即可．

解答：解：（1）不能相似；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，

分為三種情況：①當(dāng)AD=AQ=3cm時(shí)，此時(shí)t=3；  
②當(dāng)DA=DQ時(shí)，過D作DM⊥AE于M，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC-CE=6cm-2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，
由三角形的面積公式得：S_△ADE=

1

2

×AD×DE=

1

2

AE×DM，
∴DM=

12

5

cm，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=

32-( 12 5 )2

=

9

5

（cm），
∵DM⊥AQ，AD=DQ，
∴AQ=2AM=

18

5

cm（三線合一定理），
即t=

18

5

；   
③當(dāng)QA=QD時(shí)，
過Q作QN⊥AD于N，
則AN=ND=

3

2

，
∵∠ADC=∠ANQ=90°
∴QN∥DC，
∵DN=AN，
∴EQ=AQ=

1

2

AE=

1

2

×5cm=

5

2

cm，
即t=

5

2

綜合上述，當(dāng)t為3秒或

18

5

秒或

5

2

秒時(shí)，△ADQ是等腰三角形．


（3）連接AC，取AC中點(diǎn)O（即AO=OC），當(dāng)直線PQ過O時(shí)，直線PQ平分矩形ABCD的面積，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠OCR=∠OAP，
∵在△ROC和△POA中，

∠RCO=∠PAO OC=OA ∠ROC=∠POA

，
∴△ROC≌△POA（ASA），
∴CR=AP=2t，
∵CE=2，
∴RE=2t-2，EQ=5-t，
∵DC∥AB，
∴△RQE∽△PQA，
∴

RE

AP

=

EQ

AQ

，

2t-2

2t

=

5-t

t

，
解得：t₁=3，t₂=0（舍去）．
即t=3秒時(shí)，直線PQ平分矩形ABCD的面積．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，用了分類討論思想和方程思想，難度偏大．