Question

已知如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O₁在⊙O₂上，⊙O₂的弦O₁C交AB于D，交⊙O₁于E．
求證：（l）O₁A²=O₁D•O₁C；　 （2）BE平分∠ABC．

Answer 1

證明：（1）∵0₁A=O₁B，
∴∠ACO₁=∠BCO₁，
∵∠O₁AB=∠O₁CB，
∴∠O₁AB=∠O₁CA，
∵∠AO₁C=∠DO₁A，
∴△AO₁C∽△DO₁A，
∴，
∴O₁A²=O₁D•O₁C；

（2）∵∠ADO₁=∠CDB，∠O₁AB=∠O₁CB，
又∵∠AO₁D=180°-∠ADO₁-∠O₁AB，∠ABC=180°-∠CDB-∠O₁CB，
∴∠AO₁D=∠ABC，
∵∠AO₁D=2∠ABE，
∴∠ABC=2∠ABE，
∴BE平分∠ABC．
分析：（1）由0₁A=O₁B，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，即可求得∠O₁AB=∠O₁CA，又由∠AO₁C=∠DO₁A，則可證得△AO₁C∽△DO₁A，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得O₁A²=O₁D•O₁C；
（2）由∠ADO₁=∠CDB，∠O₁AB=∠O₁CB，易得∠AO₁D=∠ABC，又由同弧所對(duì)的圓周角等于它對(duì)圓心角的一半，即可求得∠ABC=2∠ABE，則可得BE平分∠ABC．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角與圓心角的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，圖形較復(fù)雜，但難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．