Question

如圖，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．
（1）判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由．
（2）已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周長．

Answer 1

分析：（1）EF垂直平分BD，則OB=OD．根據(jù)AB∥CD可證△DOF≌△BOE，得OE=OF．所以BD、EF互相垂直平分，四邊形BEDF是菱形．
（2）利用菱形面積的兩種表示方法求AD的長；利用勾股定理求AE的長．根據(jù)周長公式計(jì)算求解．

解答：解：（1）四邊形BEDF是菱形．
在△DOF和△BOE中，
∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，
所以△DOF≌△BOE，
所以O(shè)E=OF．
又因?yàn)镋F⊥BD，OD=OB，
所以四邊形BEDF為菱形．                            （5分）

（2）如圖，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，
則DO=10，EO=7.5．
由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．
S_菱形EBFD=

1

2

EF•BD=BE•AD，
即

1

2

×20×15=

25

2

×AD
所以得AD=12．
根據(jù)勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．
由2（AB+AD）=2（16+12）=56，
故矩形ABCD的周長為56．                            （10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定方法以及利用菱形面積的兩種表示方法計(jì)算線段的長度，綜合性較強(qiáng)．
菱形的判別方法有三：①定義；②四邊相等；③對(duì)角線互相垂直平分．