Question

已知：關(guān)于x的兩個方程
2x²+（m+4）x+m-4=0，①
與mx²+（n-2）x+m-3=0，②
方程①有兩個不相等的負(fù)實數(shù)根，方程②有兩個實數(shù)根．
（1）求證方程②的兩根符號相同；
（2）設(shè)方程②的兩根分別為α、β，若α：β=1：2，且n為整數(shù)，求m的最小整數(shù)值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，即可得到判別式△＞0，求得m的范圍，兩根的符號相同即兩根的積是正數(shù)即可．
（2）根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式組求其解集即可．

解答：證明：（1）∵方程2x²+（m+4）x+m-4=0兩個不相等的負(fù)實數(shù)根，
∴設(shè)這兩個負(fù)實數(shù)根分別為x₁，x₂
∴

△1＞0 x1+x2＜0 x1•x2＞0

即

(m+4)2-4×2(m-4)＞0 - m+4 2 ＜0 m-4 2 ＞0

解不等式組，得m＞4，
由方程②有兩個實數(shù)根，可知m≠0，
∴當(dāng)m＞4時，

m-3

m

＞0，即方程②的兩根之積為正，
∴方程②的兩根符號相同；

解：（2）∵方程②的兩根分別為α、β，且α：β=1：2，
∴β=2α
由

m≠0 α+β=3β=- n-2 m ① α•β=2α 2= m-3 m ②

m≠0 α+β=3α=- n-2 m ① α•β=2α 2= m-3 m ②

把①代入②得

(n-2)2

9m2

=

m-3

2m

∴（n-2）²=

9

2

m（m-3），
由（1）知，m＞4，又m為整數(shù)，
m=6時，（n-2）²=

9

2

×6×3=81
解得n=11或n=-7
當(dāng)m=6，n=11時，△₁=（n-2）²-4m（m-3）＞0，
當(dāng)m=6，n=-7時，△₂=（n-2）²-4m（m-3）＞0，
∴m的最小整數(shù)值為6．

點評：（1）一元二次方程根的兩根同號的條件是判別式△≥0，且兩根的積大于0，即

c

a

＞0；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到關(guān)于方程兩根的和與積的值，可以用來簡化運算．