Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，﹣2），點(diǎn)B（3m，2m+1），點(diǎn)C（6，2），點(diǎn)D．

（1）線段AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為_____；

（2）ABCD的對角線BD長的最小值為_____．

Answer 1

【答案】（3，0）

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可得；

（2）如圖，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)確定出B在直線y=x+1上，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)BD⊥直線y=x+1時(shí)，BD最小，由此根據(jù)已知條件添加輔助線進(jìn)行求解即可得.

（1）∵點(diǎn)A（0，﹣2），點(diǎn)C（6，2），

∴線段AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，0），

故答案為：（3，0）．

（2）如圖，∵點(diǎn)B（3m，2m+1），

∴令，

∴y=x+1，

∴B在直線y=x+1上，

∴當(dāng)BD⊥直線y=x+1時(shí)，BD最小，

過B作BH⊥x軸于H，則BH=2m+1，

∵BE在直線y=x+1上，且點(diǎn)E在x軸上，

∴E（﹣，0），G（0，1），

∵平行四邊形對角線交于一點(diǎn)，且AC的中點(diǎn)一定在x軸上，

∴F是AC的中點(diǎn)，

∵A（0，﹣2），點(diǎn)C（6，2），

∴F（3，0），

在Rt△BEF中，BH⊥EF，

∴△BEH∽△FBH，

∴BH：FH=EH：BH，∴BH2=EHFH，

∴（2m+1）2=（3m+）（3﹣3m），

解得：m=或﹣（舍棄），

∴B（，），

∴BF=，

∴BD=2BF=，

則對角線BD的最小值是，

故答案為：．