Question

【題目】已知，如圖，△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于E，過點E作EG⊥AC于G，交BC的延長線于F．

（1）求證：AE=BE；

（2）求證：FE是⊙O的切線；

（3）若FE=4，F(xiàn)C=2，求⊙O的半徑及CG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）⊙O的半徑為3；CG=.

【解析】（1）證明：連接CE，如圖1所示：

∵BC是直徑，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；

又∵AC=BC，∴AE=BE．

（2）證明：連接OE，如圖2所示：

∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位線，∴OE∥AC，AC=2OE=6．

又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切線．

（3）解：∵EF是⊙O的切線，∴FE2=FCFB．

設(shè)FC=x，則有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半徑為3；∴OE=3．

∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴ ，即 ，解得：CG= ．