Question

【題目】已知△OBF 是直角三角形，∠BFO=90°，∠BOF=30°，△AOB 是等邊三角形，OB=4，點(diǎn) A 與點(diǎn) F 位于直線 OB 的異側(cè)．

（Ⅰ）如圖①，求 BF 及 OF 的長；

（Ⅱ）點(diǎn) P 是直線OF 上的一個(gè)動點(diǎn)，連接 AP，以點(diǎn) A 為旋轉(zhuǎn)中心，把△AOP 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊 AO 與 AB 重合，得△ABD．

①如圖②，求在點(diǎn) P 運(yùn)動過程中，使點(diǎn) D 落在線段 OF 上時(shí) OP 的長；

②求在點(diǎn) P 運(yùn)動過程中，使點(diǎn) P 落在線段 OF 上，且△OPD 的面積等于時(shí) OP 的長（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）（2）① ②

【解析】

（I）如圖①中，解直角三角形△OBF 即可；

（Ⅱ）①只要證明△PAD 是等邊三角形，OA⊥PD 即可解決問題；

②如圖③中，過點(diǎn) B 作 BE⊥OA 于點(diǎn) E，過點(diǎn) D 作 DH⊥x 軸于點(diǎn) H，延長 EB 交 DH 于點(diǎn) G，則 BG⊥DH．根據(jù)三角形的面積公式構(gòu)建方程即可解決問題；

（I）如圖①中，

在 Rt△BOF 中，∵∠F=90°，∠BOF=30°，OB=4，

∴BF= OB=2，OF= =2 ．

（Ⅱ）①如圖②中，

∵△AOB 是等邊三角形，

∴OA=OB=AB=4，∠OAB=∠AOB=60°

由旋轉(zhuǎn)可知：∠PAD=∠OAB=60°，AP=AD，

∴△APD 是等邊三角形，

∵∠AOD=∠AOB+∠BOF=90°，

∴OA⊥PD，

∴OP=OD，∠PAO=∠DAO=30°，

∴OP=OAtan30°=

②如圖③中，過點(diǎn) B 作 BE⊥OA 于點(diǎn) E，過點(diǎn) D 作 DH⊥x 軸于點(diǎn) H，延長 EB 交 DH 于點(diǎn) G，則 BG⊥DH．

設(shè) BD=OP=x，

在 Rt△DBG 中，∠DBG=60°，

∴DG=BDsin60°= x．

∴DH=2+ x．

∵△OPD 的面積等于 ，

∴ x（2+ x）= ，

整理得：x2+4x﹣=0，

解得：x= 或 （舍去）．

∴OP= ．