Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=20．動點P從點D出發(fā)，在線段DA上以每秒2個單位長的速度向點A運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動．點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．設運動的時間為t（秒）．
（1）設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？
（3）是否存在某一時刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作PE⊥BC于點E，則四邊形PDCE是矩形，根據題意可得出BQ=16-t，即可得出S與t之間的函數關系式，以及自變量t的取值范圍；
（2）分為三種情況：①若PB=PQ，②若QB=QP，③若BQ=BP，分別求出t即可；
（3）假設存在某一時刻t，使得PQ⊥BD，作QM⊥AD于點M，因為AD∥BC，則1+∠2=90°，由PQ⊥BD，得∠3=∠2，可證明Rt△PMQ∽Rt△DCB，從而得出t．

解答：解：（1）作PE⊥BC于點E，則四邊形PDCE是矩形，
∴PE=DC=12，∵CQ=t，∴BQ=16-t，
∴S=

1

2

(16-t)×12=-6t+96（0≤t≤10）

（2）①若PB=PQ，∵PE⊥BC，∴BE=QE，∵EC=PD=2t，
∴BE=16-2t，QE=2t-t=t
∴16-2t=t，解得t=

16

3

②若QB=QP，作QF⊥AD于點F，在Rt△PFQ中，
∵FQ=CD=12，PF=2t-t=t，∴QP²=t²+144，∵QB²=（16-t）²
∴t²+144=（16-t）²，整理得32t=112，解得t=

7

2

，
③若BQ=BP，在Rt△PBE中，∵PE=CD=12，BE=16-2t
∴PB²=（16-2t）²+144
∴（16-2t）²+144=（16-t）²，整理得3t²-32t+144=0，
∵△=32²-12×144=-704＜0，
∴該方程沒有實數根，故BQ≠BP，
∴t=

16

3

或t=

7

2

時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形

（3）假設存在某一時刻t，使得PQ⊥BD，作QM⊥AD于點M
∵AD∥BC，∠C=90°，∴∠ADC=90°，∴∠1+∠2=90°，
∵PQ⊥BD，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，
∴Rt△PMQ∽Rt△DCB，
∴

PM

DC

=

QM

BC

，∴

2t-t

12

=

12

16

，
解得t=9，
∴當t=9時，PQ⊥BD．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質以及勾股定理，是中考壓軸題，難度較大．