Question

已知：直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、、（1，0）三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），在直線上有一點(diǎn)，使與相似，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)，使的面積等于四邊形的面積？如果存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）或（1，2）；（3）不存在

試題分析：（1）先求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)即可根據(jù)待定系數(shù)法求得結(jié)果；
（2）由題意可得：△ABO為等腰直角三角形，分△ABO∽△AP₁D，△ABO∽△ADP₂，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）如圖設(shè)點(diǎn)E ，根據(jù)三角形的面積公式可得①當(dāng)P₁（-1，4）時(shí)，= ，由點(diǎn)E在x軸下方可得，代入得即，根據(jù)△=（-4）²-4×7=-12<0可得此方程無解；②當(dāng)P₂（1，2）時(shí)，= ，由點(diǎn)E在x軸下方可得，代入得：，即，根據(jù)△=（-4）²-4×5=-4<0可得此方程無解，綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E.
（1）由題意得，A（3，0），B（0，3）
∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點(diǎn)分別代入得方程組
，解得：
∴拋物線的解析式為；
（2）由題意可得：△ABO為等腰直角三角形，如圖所示

若△ABO∽△AP₁D，則 
∴DP₁=AD=4
∴P₁
若△ABO∽△ADP₂ ，過點(diǎn)P₂作P₂ M⊥x軸于M，AD=4
∵△ABO為等腰三角形
∴△ADP₂是等腰三角形，由三線合一可得：DM="AM=2=" P₂M，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合
∴P₂（1，2）；
（3）如圖設(shè)點(diǎn)E ，則


①當(dāng)P₁（-1，4）時(shí)，=
∴，
∵點(diǎn)E在x軸下方 
∴，代入得即
∵△=（-4）²-4×7=-12<0
∴此方程無解；
②當(dāng)P₂（1，2）時(shí)，=     
∴， 
∵點(diǎn)E在x軸下方 
∴，代入得：，即，
∵△=（-4）²-4×5=-4<0
∴此方程無解
綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E.
點(diǎn)評：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.