Question

如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，CD⊥AB于P，設(shè)AP=a，PB=b．
（1）求弦CD的長；
（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此時a，b的值．

Answer 1

分析：（1）先求出圓的半徑，連接OC構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理可求出CP的長，弦CD=2CP；
（2）根據(jù)同一個圓中弦不大于直徑．

解答：解：（1）連接OC，OC=

a+b

2

，OP=

a+b

2

-a=

b-a

2

，
所以PC²=OC²-OP²=(

a+b

2

)2-(

b-a

2

)2=ab，
得CD=2PC=2

ab

；

（2）由于CD≤AB，所以2

ab

≤a+b=10，
得ab≤25，
所以ab的最大值為25，此時a=b=5．

點評：構(gòu)造以半徑為斜邊的直角三角形利用勾股定理求解是考查的重點之一．