Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BEC面積最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值？

（3）在（2）的結(jié)論下，過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)M，連接AM，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+3；（2）（2，3），3；（3）（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．

【解析】

試題分析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0），∵拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，∴，解得，∴y=﹣x2+x+3．

（2）如圖1，過點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M，EF交x軸于點(diǎn)F，

，

∵點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，∴當(dāng)x=2時(shí)，即點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，3）時(shí)，△BEC的面積最大，最大面積是3．

（3）在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

①如圖2，

，

由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2，∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，），又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直線的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1，∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，m），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），則，解得或，∵x＜0，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣3，﹣）．

②如圖3，

，

由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2，∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，），又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直線的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1，∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，m），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），則，解得或，∵x＞0，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，﹣）．

③如圖4，

，

由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2，∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，），又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，0），∴AM==，∵y=﹣x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1，∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，m），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），則解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣1，）．綜上，可得在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．