Question

【題目】如圖，AB是以BC為直徑的半圓O的切線，D為半圓上一點，AD＝AB，AD，BC的延長線相交于點E.

(1)求證：AD是半圓O的切線；

(2)連結(jié)CD，求證：∠A＝2∠CDE；

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

（1）如圖，連接OD，BD，

∵AB是⊙O的切線，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，

∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，

∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，

∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圓O的切線．

（2）由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，

∴∠A=360°–∠ADO–∠ABO–∠BOD=180°–∠BOD=∠DOC，

∵AD是半圓O的切線，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，

∵BC是⊙O的直徑，∴∠ODC+∠BDO=90°，∴∠BDO=∠CDE，

∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO，∴∠DOC=2∠CDE，

∴∠A=2∠CDE．