Question

如圖所示，邊長為2的正方形OABC如圖放置在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c過點A，B，且12a+5c=0．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如果點P由點A開始沿AB邊以每秒2個單位的速度向點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以每秒1個單位的速度向點C移動，設移動時間為t秒．當線段PQ的長取得最小值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P，B，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形？如存在，求出點R的坐標；如不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，P、Q點在運動過程中，拋物線上是否還存在其它點R，使得以P，B，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形？如存在，求出點R的坐標；如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的邊長可得A、B兩點的坐標，將它們代入拋物線的解析式中，聯(lián)立12a+5c=0，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）首先用t表示出PB、BQ的長，利用勾股定理可求得PQ₂的表達式，根據(jù)所得函數(shù)的性質即可得到PQ₂的最小值（即PQ的最小值）及對應的t值，進而可得到P、Q的坐標，然后分兩種情況考慮：
①PR與BQ平行且相等，那么將P點坐標向上或向下平移BQ個單位，即可得到R的坐標，然后將其代入拋物線的解析式中進行驗證即可；
②QR與BP平行且相等，那么將Q點坐標向左或向右平移BP個單位即可得到R點坐標，然后將其代入拋物線的解析式中進行驗證即可．
（3）此題的解法同（2），將P、Q的坐標用t表示，然后按（2）題的兩種情況得到各自的R點坐標，然后再代入拋物線中進行驗證即可．

解答：解：（1）由題A（0，-2），B（2，-2）；
∴

c=-2 4a+2b+c=-2 12a+5c=0

∴

a= 5 6 b=- 5 3 c=-2

∴y=

5

6

x2-

5

3

x-2．（4分）

（2）由題AP=2t，BQ=t；
∴BP=2-2t，
Rt△PBQ中，
PQ²=PB²+BQ²=（2-2t）²+t²
=5t²-8t+4
=5(t-

4

5

)2+

4

5

；
當t=

4

5

時，PQ²取得最小值，
則PQ最小，此時P(

8

5

，-2)，Q(2，-

6

5

)；
假設符合條件的點R存在，
①過P作PR∥BQ，PR=BQ；
此時R（

8

5

，-

14

5

）或(

8

5

，-

6

5

)，
將其代入拋物線解析式，
知這兩個點R均不在拋物線上；
②過Q作QR∥BP，QR=BP，
此時R（

12

5

，-

6

5

）或(

8

5

，-

6

5

)將其代入拋物線解析式，
知點（

12

5

，-

6

5

）在拋物線上，點(

8

5

，-

6

5

)不在拋物線上，
綜上所述，存在符合條件的點R（

12

5

，-

6

5

）．（8分）

（3）易知：P（2t，-2），Q（2，t-2），
由于點R在拋物線上，
∴若存在以P，B，Q，R為頂點的平行四邊形，只能有兩種情況，
①平行四邊形PRBQ此時PR∥BQ，PR=BQ；
∴R（2t，-2-t），
將其代入拋物線解析式得：

5

6

•(2t)2-

5

3

•2t-2=-2-t，
10t²-7t=-0，
t1=0(舍去)t2=

7

10

；
此時R(

7

5

，-

27

10

)；
②PQRB，此時QR∥PB，QR=PB；
∴R（4-2t，t-2），
將其代入拋物線解析式，

5

6

(4-2t)2-

5

3

(4-2t)-2=t-2；
10t²-33t+20=0，
∴t₁=2.5（舍去），t₂=0.8，
此時R（

12

5

，-

6

5

）；
綜上所述，除（2）中的點R外，還存在點R(

7

5

，-

27

10

)．（12分）

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、正方形的性質、平行四邊形的判定和性質、函數(shù)圖象上點的坐標意義等知識，在涉及到動點問題時，一定要注意分類討論思想的應用，以免漏解．