Question

如圖，已知AD∥BC，點(diǎn)E在AC上且AE=3EC，連接DE并延長它，交BC于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)G．
（1）試說明：△ADE∽△CFE；
（2）當(dāng)EF=2時(shí)，
①求

AD

CF

的值和DE的長；
②當(dāng)點(diǎn)F恰好是BC的中點(diǎn)時(shí)，求GF的長；
（3）當(dāng)

CF

BF

的值為多少時(shí)，

GD

GF

=9．請(qǐng)簡單說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AD∥BC，得出∠D=∠EFC，∠DAE=∠C，即可得出△ADE∽△CFE；
（2）①利用相似三角形的性質(zhì)得出

AD

CF

=

DE

FE

=

AE

CE

，再利用AE=3EC，得出即可；
②首先得出△AGD∽△BGF，進(jìn)而求出

FD

GF

=2，即可得出GF的長；
（3）由

AD

CF

=3，

FC

BF

=3，得出

AD

CF

•

FC

BF

=9，即可得出答案．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠D=∠EFC，∠DAE=∠C，
∴△ADE∽△CFE．

（2）①∵△ADE∽△CFE，
∴

AD

CF

=

DE

FE

=

AE

CE

．
∵AE=3EC，
∴

AE

CE

=3，
∴

AD

CF

=3，DE=3FE=3×2=6．
②∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴BF=CF．
∵

AD

CF

=3，
∴

AD

BF

=3．
∵AD∥BC，
∴△AGD∽△BGF，
∴

GD

GF

=

AD

BF

=3
∴

FD

GF

=2．
由①可知：FD=FE+ED=2+6=8，
∴GF=4．

（3）當(dāng)

CF

BF

=3時(shí)，

GD

GF

=9，理由如下：
∵

AD

CF

=3，

FC

BF

=3，
∴

AD

CF

•

FC

BF

=9，
即

AD

BF

=9，
∴

GD

GF

=

AD

BF

=9．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段之間的比值是解題關(guān)鍵．