Question

（2009•閘北區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，點P為x軸上的一個動點，但是點P不與點0、點A重合．連接CP，D點是線段AB上一點，連接PD．
（1）求點B的坐標；
（2）當∠CPD=∠OAB，且=，求這時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可得∠BAQ=∠COA，已知AB=4，∠COA度數(shù)利用三角函數(shù)可求出BQ，AQ，OQ的值．
（2）利用相似三角形的判定證明△OCP∽△APD，根據(jù)等比性質(zhì)可求出AP，OP的值．
解答：解：（1）作BQ⊥x軸于Q．
∵四邊形OABC是等腰梯形，
∴∠BAQ=∠COA=60°
在Rt△BQA中，BA=4，
BQ=AB•sin∠BAO=4×sin60°=（1分）
AQ=AB•cos∠BAO=4×cos60°=2，（1分）
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
點B在第一象限內(nèi)，∴點B的坐標為（5，）（1分）

（2）∵∠CPA=∠OCP+∠COP，
即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP，
而∠CPD=∠OAB=∠COP=60°，
∴∠OCP=∠APD．（1分）
∵∠COP=∠PAD，（1分）
∴△OCP∽△APD．（1分）
∴．
∴OP•AP=OC•AD．（1分）
∵，且AB=4，
∴BD=AB=，
AD=AB-BD=4-=．
∵AP=OA-OP=7-OP，
∴OP（7-OP）=4×，（1分）
解得：OP=1或6．
∴點P坐標為（1，0）或（6，0）．（2分）
點評：本題綜合考查了三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰梯形性質(zhì)的運用，難度中上．