Question

如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長(zhǎng)為4．若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），設(shè)BE=a，CD=b．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明；
（2）求a•b的值；
（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△AFG旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，AG與BC交于點(diǎn)E，AF的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，那么a•b的值是否發(fā)生了變化？為什么？

Answer 1

分析：（1）△ADE∽△ABE；△ACD∽△ABE．由于∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，那么∠BAE=∠CDA，而∠B=∠C=45°，易證△ABE∽△DCA，由于D在BC上，且D點(diǎn)與B點(diǎn)不重合，那么△ADE不≌△ABE，同理可證△ADE∽△ABE；
（2）由于斜邊長(zhǎng)是4，根據(jù)勾股定理易求直角邊等于2

2

，由（1）知△ACD∽△ABE，利用比例線段可求a•b的值；
（3）不變．由于∠BEA=∠EAC+45°，∠CAD=45°+∠EAC，易得∠BEA=∠CAD，而∠ABE=∠DCA=45°，可證△EBA∽△ACD，利用比例線段可求BE•CD=AB•AC，而根據(jù)題意知AB=AC=2

2

，從而可求BE•CD的值，可得不變的結(jié)論．

解答：解：（1）△ADE∽△ABE；△ACD∽△ABE．
下面進(jìn)行證明△ACD∽△ABE，
∵∠FAG=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
又∵∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA，
由于D在BC上，且D點(diǎn)與B點(diǎn)不重合，
∴△ADE不≌△ABE；
同理可得△ADE∽△ABE；

（2）∵△ACD∽△ABE，
∴

BE

CA

=

BA

CD

，
由依題意，可知：CA=BA=2

2

，
∴

a

2 2

=

2 2

b

，
∴a•b=8；

（3）不變．
∵∠BEA=∠EAC+45°，∠CAD=45°+∠EAC，
∴∠BEA=∠CAD，
又∵∠ABE=∠DCA=45°，
∴△EBA∽△ACD，
∴

BE

AB

=

AC

DC

，
∴BE•CD=AB•AC=2

2

×2

2

=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用三角形外角的性質(zhì)，證明∠BAE=∠CDA，∠BEA=∠CAD．