Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過(guò)P作PF⊥AE于F，設(shè)PA=x．
（1）求證：△PFA∽△ABE；
（2）若以P，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似，試求x的值；
（3）試求當(dāng)x取何值時(shí)，以D為圓心，DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件可以證明兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，從而證明三角形相似；
（2）由于對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，所以應(yīng)針對(duì)不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系分情況考慮：當(dāng)∠PEF=∠EAB時(shí)，則得到四邊形ABEP為矩形，從而求得x的值；當(dāng)∠PEF=∠AEB時(shí)，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，得到等腰△APE．再根據(jù)等腰三角形的三線合一得到F是AE的中點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．
（3）此題首先應(yīng)針對(duì)點(diǎn)P的位置分為兩種大情況：點(diǎn)P在AD邊上時(shí)或當(dāng)點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)．同時(shí)還要特別注意⊙D與線段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)，不一定必須相切，只要保證和線段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)即可．故求得相切時(shí)的情況和相交，但其中一個(gè)交點(diǎn)在線段AE外的情況即是x的取值范圍．
解答：（1）證明：∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．（1分）
∴∠ABE=90°．
∴∠PAF=∠AEB．（1分）
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°．（1分）
∴△PFA∽△ABE．

（2）解：情況1，當(dāng)△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB時(shí)，
則有PE∥AB（1分）
∴四邊形ABEP為矩形．（1分）
∴PA=EB=2，即x=2．（2分）
情況2，當(dāng)△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB時(shí)，
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)．（1分）
∵，
∴．（1分）
∵，即，
∴PE=5，即x=5．（2分）
∴滿足條件的x的值為2或5．

（3）解：

作DH⊥AE，則⊙D與線段AE的距離d即為DH的長(zhǎng)，可得d=
當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上時(shí)，⊙D的半徑r=DP=4-x；
當(dāng)點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，⊙D的半徑r=DP=x-4；
如圖1時(shí)，⊙D與線段AE相切，此時(shí)d=r，即，∴；
如圖2時(shí)，⊙D與線段AE相切，此時(shí)d=r，即，∴；
如圖3時(shí)，DA=PD，則PA=x=2DA=8，
如圖4時(shí)，當(dāng)PD=ED時(shí)，
∵DE==2，
∴PA=PD+AD=4+2，
∴當(dāng)或或8＜x≤4+2時(shí)，⊙D與線段AE只有一個(gè)公共點(diǎn)．（3分）
點(diǎn)評(píng)：綜合運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)．特別注意和線段有一個(gè)公共點(diǎn)，不一定必須相切，也可以相交，但其中一個(gè)交點(diǎn)在線段外．