Question

（2011•哈爾濱模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），直線y=-

4

3

x+b經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以5個(gè)單位/秒的速度沿BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB，垂足為Q，M為PQ上的一點(diǎn)，且QM=2PM，過M點(diǎn)作MN⊥OA，垂足為N，設(shè)MN的長為y，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求y關(guān)于t（秒）的函數(shù)關(guān)系式（請直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，將△BPQ沿直線PQ折疊得到△B′PQ，過B′點(diǎn)作B′D垂直x軸于點(diǎn)D，當(dāng)t為何值時(shí)，∠MB′N=90°，并判斷此時(shí)直線B′D與以MN為直徑的⊙O′的位置關(guān)系，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）代入直線y=-

4

3

x+b求出直線的解析式，當(dāng)x=0時(shí)求出y值就可以求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）由（1）B的坐標(biāo)可以求出OB，再由勾股定理就可以求出AB的值，由PQ⊥AB，根據(jù)三角形的正弦值表示出PQ再由已知條件可以表示出PM，如圖1作PH⊥MN可以求得∠MPH=∠ABO，可以表示出MH，這樣就可以得出結(jié)論．
（3）如圖2，作NK⊥AB于K，O′R⊥B′D于R，通過證明△MQB′∽△B′KN，利用（2）的結(jié)論可以求出∠MB′N=90°時(shí)t的值，然后就可以表示出ON，MN的值，計(jì)算比較O′R與

1

2

MN的大小從而可以確定B′D與⊙O′的位置關(guān)系．

解答：解：（1）把（6，0）代入y=-

4

3

x+b，得
0=-8+b，
∴b=8，
∴y=-

4

3

x+8，當(dāng)x=0時(shí)，y=8，
∴B（0，8）；

（2）∵OB=8，OA=6，由勾股定理得AB=10．
∵PQ⊥AB，BP=5t，
∴sin∠OBA=

OA

AB

=

PQ

BP

=

6

10

=

3

5

，
即

3

5

=

PQ

5t

，
∴PQ=3t，
∴BQ=4t，
∵QM=2PM，
∴PM=t，QM=2t．
如圖1，過點(diǎn)P作PH⊥MN于H，
∵M(jìn)N⊥OA，
∴MN∥OB，
∴∠MPH=∠0BA，
∴sin∠MPH=

3

5

，
∴

MH

PM

=

PQ

BP

，
∴MH=

3

5

t，
∴ON=PH=

4

5

t，
∵HN=PO=8-5t，
∴y=MN=MH+HN=8-5t+

3

5

t，
∴y=-

22

5

t+8（0＜t≤

8

5

）；

（3）如圖2，過點(diǎn)N作NK⊥AB于K，
∵PQ⊥AB，
∴∠MQB′=∠NKB′=90°．
根據(jù)題意B′點(diǎn)在直線AB 上，且BQ=B′Q=4t，
∵∠MB′N=90°，
∴∠MB′Q+∠NB′K=90°．
∵∠NB′K+∠B′NK=90°，
∴∠MB′Q=∠B′NK，
∴△MB′Q∽△B′NK，
∴

MQ

B′K

=

QB′

NK

．
∴ON=

4

5

t，AN=6-

4

5

t，NK=（6-

4

5

t）×

4

5

=

24

5

-

16

25

t，AK=（6-

4

5

t）×

3

5

=

18

5

-

12

25

t，
∴

2t

10-8t-( 18 5 - 12 25 t)

=

4t

24 5 - 16 25 t

，
解得t=

5

9

．
過點(diǎn)O′作O′R⊥B′D于R，當(dāng)t=

5

9

時(shí)．
ON=

4

9

，MN=

50

9

，的值，計(jì)算比較O′R=MD=OD-ON=OA-AD-ON=6-

3

5

AB′-

4

9

=

20

9

，

1

2

MN=

25

9

，
∴O′R＜

1

2

MN，
∴直線B′D于⊙O′相交．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用．