Question

已知反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點A（-

3

，1）．
（1）試確定此反比例函數(shù)的解析式；
（2）點O是坐標原點，將線段OA繞O點順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB．判斷點B是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；
（3）已知點P（m，

3

m+6）也在此反比例函數(shù)的圖象上（其中m＜0），過P點作x軸的垂線，交x軸于點M．若線段PM上存在一點Q，使得△OQM的面積是

1

2

，設(shè)Q點的縱坐標為n，求n²-2

3

n+9的值．

Answer 1

分析：（1）由于反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點A（-

3

，1），運用待定系數(shù)法即可求出此反比例函數(shù)的解析式；
（2）首先由點A的坐標，可求出OA的長度，∠AOC的大小，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出點B的坐標，進而判斷點B是否在此反比例函數(shù)的圖象上；
（3）把點P（m，

3

m+6）代入反比例函數(shù)的解析式，得到關(guān)于m的一元二次方程；根據(jù)題意，可得Q點的坐標為（m，n），再由△OQM的面積是

1

2

，根據(jù)三角形的面積公式及m＜0，得出mn的值，最后將所求的代數(shù)式變形，把mn的值代入，即可求出n²-2

3

n+9的值．

解答：解：（1）由題意得1=

k

- 3

，解得k=-

3

，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-

3

x

；

（2）過點A作x軸的垂線交x軸于點C．
在Rt△AOC中，OC=

3

，AC=1，
∴OA=

OC2+AC2

=2，∠AOC=30°，
∵將線段OA繞O點順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，
∴∠BOC=60°．
過點B作x軸的垂線交x軸于點D．
在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD=

3

，OD=

1

2

OB=1，
∴B點坐標為（-1，

3

），
將x=-1代入y=-

3

x

中，得y=

3

，
∴點B（-1，

3

）在反比例函數(shù)y=-

3

x

的圖象上．

（3）由y=-

3

x

得xy=-

3

，
∵點P（m，

3

m+6）在反比例函數(shù)y=-

3

x

的圖象上，其中m＜0，
∴m（

3

m+6）=-

3

，
∴m²+2

3

m+1=0，
∵PQ⊥x軸，∴Q點的坐標為（m，n）．
∵△OQM的面積是

1

2

，
∴

1

2

OM•QM=

1

2

，
∵m＜0，∴mn=-1，
∴m²n²+2

3

mn²+n²=0，
∴n²-2

3

n=-1，
∴n²-2

3

n+9=8．

點評：本題綜合考查了運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，求代數(shù)式的值等知識，尤其是在最后一問中，沒有必要求出n的具體值，而是將mn=-1作為一個整體代入，有一定的技巧性，使計算簡便．