Question

如圖①，△ABC為等邊三角形，周長(zhǎng)為p．D₁，E₁，F(xiàn)₁分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，連接D₁E₁，E₁F₁，F(xiàn)₁D₁，可得△D₁E₁F₁．
（1）用p表示△D₁E₁F₁的周長(zhǎng)是

1

2

p

；
（2）當(dāng)D₂，E₂，F(xiàn)₂分別是△D₁E₁F₁三邊的中點(diǎn)，如圖②，則△D₂E₂F₂的周長(zhǎng)是

1

4

p

；（用含p的式子表示）
（3）按照上述思路探索下去，當(dāng)D_n，E_n，F(xiàn)_n分別是△D_n-1E_n-1F_n-1三邊的中點(diǎn)時(shí)（n為正整數(shù)），則D_nE_nF_n的周長(zhǎng)是

1

2n

p

．（用含n、p的式子表示）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形中位線定理易得所求的三角形的各邊長(zhǎng)為原三角形各邊長(zhǎng)的一半，那么所求的三角形的周長(zhǎng)就等于原三角形周長(zhǎng)的一半；
（2）由（1）可知?jiǎng)t△D₂E₂F₂的周長(zhǎng)是△D₁E₁F₁的周長(zhǎng)的一半；
（3）按照上述思路探索下去，當(dāng)D_n，E_n，F(xiàn)_n分別是△D_n-1E_n-1F_n-1三邊的中點(diǎn)時(shí)（n為正整數(shù)），則D_nE_nF_n的周長(zhǎng)是

1

2n

p．

解答：解：（1）解：∵點(diǎn)D₁、E₁、F₁分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，
∴D₁E₁=

1

2

AC，D₁F₁=

1

2

BC，E₁F₁=

1

2

AB，
∴△D₁E₁F₁的周長(zhǎng)是

1

2

（AB+BC+AC）=

1

2

p，
故答案為：

1

2

p；

（2）由（1）可知△D₂E₂F₂的周長(zhǎng)是△D₁E₁F₁的周長(zhǎng)的一半；
即為

1

4

p，
故答案為

1

4

p；

（3）按照上述思路探索下去，每一個(gè)新的小三角形都是前一個(gè)的

1

2

即

1

2n

p，
故答案為：

1

2n

p．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．